Iniciante:

Situação Física: Pela equação de um movimento uniformemente acelerado, $$D=v_0t+\frac{at^2}{2}$$, é fácil perceber que quanto maior for a aceleração, menor será o tempo necessário para percorrer a distância citada. Contudo há uma condição: o bloco não deve deixar o chão. Para que tal ocorra, a componente vertical da força feita pela estudante deve ser no máximo igual ao peso do bloco. Além disso, obtemos o trabalho feito de diversas formas, contudo irei utilizar a definição de que trabalho é a varição da energia interna, nesse caso, da cinética.

Resolução: Para que o bloco não saia do chão, sendo o ângulo já definido:

$$F\sin{(30^0)}=F\frac{1}{2}=mg$$

Assim obtemos a força máxima que a estudante pode exercer na caixa. Obtemos então a aceleração:

$$F=ma\rightarrow a=2g$$

Utilizamos então a conhecida equação da cinemática para obter o tempo (lembrando que a velocidade inicial é nula):

$$D=v_0t+\frac{at^2}{2}\rightarrow D=0t+\frac{2gt^2}{2}$$

Por fim, isolando $$t$$:

$$t=\sqrt{\frac{D}{g}}$$

Para o trabalho, temos:

$$\tau=\Delta\frac{mv^2}{2}$$

Como a energia inicial é nula, temos que a varição da mesma corresponde a energia final. Ou seja:

$$\tau=\frac{1}{2}mv^2$$

Sendo $$v$$ dado pela fórmula:

$$v=at=g\sqrt{\frac{D}{g}}=\sqrt{Dg}$$

Chegando a:

$$\tau=\frac{1}{2}mDg$$

 

Intermediário:

Situação Física: Aqui o maior cuidado que devemos ter é com as direções das forças: as molas são puxadas de forma inclinada, porém o torque é dado somente pela componente perpendicular a haste. Podemos pegar tal inclinação olhando a distância percorrida e usando a fórmula de lançamento oblíquo. Além disso, devemos lembrar que cada mola não está somente para frente, mas para o lado também, pois uma de suas extremidades etá na lateral da abertura do estilingue e a outra na massa, que se encontra equidistante de ambas laterais. Sendo o comprimento natural de cada mola $$x$$, tal abertura mede $$2x$$. Ou seja, temos forças nos três eixos do espaço, porém queremos somente as horizontais (visto que a haste se encontra na vertical). Para encontrar a deformação das molas, conservamos a energia.

Resolução: Seja $$d$$  a deformação das molas:

$$2\frac{1}{2}Kd^2=\frac{1}{2}mV^2\rightarrow d=\sqrt{\frac{m}{2K}}V$$

Força feita pelas molas, retirando as componentes que apontam para as laterais do estilingue:

$$F’=2Kd\frac{\sqrt{(d+x)^2-x^2}}{d+x}=2K\sqrt{\frac{m}{2K}}V\frac{\sqrt{\frac{m}{2K}V^2+2\sqrt{\frac{m}{2K}}Vx}}{\sqrt{\frac{m}{2K}}V+x}$$

Após isso, temos de retirar as componentes verticais. Para tal, devemos saber o ângulo de lançamento. Pelas equações do lançamento oblíquo temos:

$$D=\frac{V^2\sin{(2\theta)}}{g}$$

Onde $$\theta$$ é o ângulo de lançamento. Neste cado temos:

$$D=\frac{V^2}{g}\rightarrow \sin{(2\theta)}=1 \rightarrow \theta= 45^0$$

E assim, obtemos que a força perpendicular a haste se da por $$F’\cos{(45^0)}$$. Por fim, igualamos os torques:

$$F’\cos{(45^0)}\frac{2}{3}l=F’\frac{\sqrt{2}}{3}l=F\frac{1}{3}l$$

Onde $$l$$ é o tamanho da haste. Por fim:

$$F=2\sqrt{2}K\sqrt{\frac{m}{2K}}V\frac{\sqrt{\frac{m}{2K}V^2+2\sqrt{\frac{m}{2K}}Vx}}{\sqrt{\frac{m}{2K}}V+x}$$

Para um melhor entendimento, veja as imagens a seguir:

Figura 1: estilingue visto de duas perspectivas

Avançado:

Situação Física: Há energia potencial entrando no sistema pois a massa que se agrega a este em alturas maiores que a tida como referência (base da montanha), e no fim toda esta emergia, mais a inicial, é convertida em cinética.

Resolução:

O aumento de massa é dito ser linear, sendo que na metade da altura, $$m$$ foi para $$3m$$, nos levando a relação:

$$\frac{H}{2}\rightarrow 2m$$

$$H\rightarrow 4m$$

Ou seja, percorrendo toda a montanha, há um aumento de $$4m$$, totalizando $$5m$$. Agora, digamos que há uma densidade linear de massa (que é agregada a bolinha) $$\lambda$$, tal que $$\lambda H=4m$$. A energia de um segmento muito pequeno de altura $$dh$$ a uma altura $$h$$ se da por:

$$dE’=hg\lambda dh$$

Para a energia total que será absorvida, basta somar todas as energias de todos os pequenos “pedaços” $$dh$$ indo de $$0$$ a $$H$$. Ou seja, integramos:

$$E’=\int_{0}^{H}{\lambda dhhg}=\frac{\lambda gH^2}{2}$$

Como $$\lambda H=4m$$:

$$E’=2mHg$$

Por conservação de energia:

$$E_{c}=E’+E_{0}$$

Onde $$E_{0}$$, a energia inicial, é dada por $$E_{0}=mgH$$. Por fim obtemos:

$$\frac{1}{2}5mv^2=3mgH$$

$$\rightarrow v=\sqrt{\frac{6}{5}gH}$$