Soluções Física – Semana 62

Iniciante:

Situação Física: aqui basta olharmos a velocidade em cada meio, lembrando de se usar a velocidade relativa quando na água.

Resolução: Tempo na areia:

$t=\frac{d}{V}$

Tempo no mar:

$t'=\frac{D}{u-v}$

Logo, temos o tempo total:

$T=t+t'=\frac{d(u-v)+DV}{V(u-v)}$

Intermediário:

Situação Física: Uma analogia interessante que pode ser feita neste caso é com a óptica. Temos a velocidade relativa entre os meios, e podemos chamar tal razão de coeficiente de refração, pois atua como o mesmo, modificando a velocidade. Temos então um caso no qual o Princípio de Fermat está sendo aplicado: aluz percorre sempre o caminho mais rápido, e é isto que o salva vidas deve fazer, se comportando então como um raio de luz passando de um meio para outro. Usemos então Snell para encontrar o ângulo que o nadador deve formar.

Resolução: Temos que:

$D\tan{(\theta)}+d\tan{(\beta)}=L$

E pela lei de Snell:

$\sin{(\theta)}=\frac{V}{v}\sin{(\beta)}$

E para o tempo, temos:

$T=\frac{D}{\cos{(\theta)}V}+\frac{d}{\cos{(\beta)}v}$

Adotemos ângulos pequenos para simplificação de contas, tal que $\sin{(theta)}=\theta$:

$\rightarrow \theta(D+d\frac{V}{v})=L$

E por fim:

$T=\frac{D}{\cos{(\frac{L}{D+d\frac{V}{v}})}}+\frac{d}{\cos{(\frac{VL}{v(D+d\frac{V}{v})})}}$

Deduzimos um ângulo pequeno somente para chegar em um resultado com menos contas, contudo o problema é tal como apresentado.

Avançado:

Situação Física: Para maior estabilidade, temos que o centro de massa do sistema deve estar na posição mais baixa possível.

Resolução: Chamando $y$ de altura do centro de massa, $m$ de massa de água e $h$ altura de água, temos:

$m(y-\frac{h}{2})=M(\frac{L}{2}-y)$

Isolando a altura do centro de massa:

$y=\frac{mh+ML}{2(M+m)}$

Para $m$ temos:

$m=V\rho=Ah\rho$

E assim chegamos a:

$y=\frac{A\rho h^2+ML}{2(M+A\rho h)}$

Para obter o valor mínimo, derivamos igual a zero, obtendo:

$4A\rho h(M+A\rho h)=2A\rho(A\rho h^2+ML)$

$\rightarrow 2hM+2A\rho h^2-A\rho h^2-ML\rightarrow h=\frac{-M+\sqrt{M^2+AML\rho}}{A\rho}$

Para o tempo então temos:

$T=\frac{V}{u}=A\frac{\sqrt{M^2+AML\rho}-M}{uA\rho}$