Soluções Física – Semana 62

Iniciante:

Situação Física: aqui basta olharmos a velocidade em cada meio, lembrando de se usar a velocidade relativa quando na água.

Resolução: Tempo na areia:

$$t=\frac{d}{V}$$

Tempo no mar:

$$t’=\frac{D}{u-v}$$

Logo, temos o tempo total:

$$T=t+t’=\frac{d(u-v)+DV}{V(u-v)}$$

Intermediário:

Situação Física: Uma analogia interessante que pode ser feita neste caso é com a óptica. Temos a velocidade relativa entre os meios, e podemos chamar tal razão de coeficiente de refração, pois atua como o mesmo, modificando a velocidade. Temos então um caso no qual o Princípio de Fermat está sendo aplicado: aluz percorre sempre o caminho mais rápido, e é isto que o salva vidas deve fazer, se comportando então como um raio de luz passando de um meio para outro. Usemos então Snell para encontrar o ângulo que o nadador deve formar.

Resolução: Temos que:

$$D\tan{(\theta)}+d\tan{(\beta)}=L$$

E pela lei de Snell:

$$\sin{(\theta)}=\frac{V}{v}\sin{(\beta)}$$

E para o tempo, temos:

$$T=\frac{D}{\cos{(\theta)}V}+\frac{d}{\cos{(\beta)}v}$$

Adotemos ângulos pequenos para simplificação de contas, tal que $$\sin{(theta)}=\theta$$:

$$\rightarrow \theta(D+d\frac{V}{v})=L$$

E por fim:

$$T=\frac{D}{\cos{(\frac{L}{D+d\frac{V}{v}})}}+\frac{d}{\cos{(\frac{VL}{v(D+d\frac{V}{v})})}}$$

Deduzimos um ângulo pequeno somente para chegar em um resultado com menos contas, contudo o problema é tal como apresentado.

Avançado:

Situação Física: Para maior estabilidade, temos que o centro de massa do sistema deve estar na posição mais baixa possível.

Resolução: Chamando $$y$$ de altura do centro de massa, $$m$$ de massa de água e $$h$$ altura de água, temos:

$$m(y-\frac{h}{2})=M(\frac{L}{2}-y)$$

Isolando a altura do centro de massa:

$$y=\frac{mh+ML}{2(M+m)}$$

Para $$m$$ temos:

$$m=V\rho=Ah\rho$$

E assim chegamos a:

$$y=\frac{A\rho h^2+ML}{2(M+A\rho h)}$$

Para obter o valor mínimo, derivamos igual a zero, obtendo:

$$4A\rho h(M+A\rho h)=2A\rho(A\rho h^2+ML)$$

$$\rightarrow 2hM+2A\rho h^2-A\rho h^2-ML\rightarrow h=\frac{-M+\sqrt{M^2+AML\rho}}{A\rho}$$

Para o tempo então temos:

$$T=\frac{V}{u}=A\frac{\sqrt{M^2+AML\rho}-M}{uA\rho}$$