Escrito por Matheus Ponciano
Iniciante:
[spoiler title=’Situação Física’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Ocorreu uma colisão unidimensional entre dois blocos de forma que a velocidade relativa final entre elas fosse zero. Analisaremos diversos parâmetros dessa situação.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Tendo o coeficiente elástico dado por $$e=\frac{|v_{afastamento}|}{|v_{aproximacao}|}$$ . Como ambos andam juntos após a colisão, temos que: $$v_{afastamento} = 0$$
$$e = 0$$
A colisão é então inelástica.
b) Como não atuam forças resultantes externas ao sistema dos bloquinhos, a quantidade de momento se conserva.
c) Conservando o momento:
$$m_aV_a + m_bV_b = (m_a+m_b)V$$
$$V=(m_aV_a + m_bV_b)/(m_a + m_b)$$
Vendo as energias cinéticas antes e depois da colisão:
$$E_{antes} = \frac{m_aV_a^2}{2} + \frac{m_bV_b^2}{2}$$
$$E_{depois`} = \frac{(m_a + m_b)V^2}{2}$$
$$E_{depois} = (m_a + m_b) \frac{(m_aV_a + m_bV_b)^2}{2(m_a + m_b)^2}$$
$$E_{depois} = \frac{(m_aV_a + m_bV_b)^2}{2(m_a + m_b)}$$
$$E_{antes} = \frac{(m_aV_a^2 + m_bV_b^2)}{2} \frac{(m_a + m_b)}{(m_a+m_b)}$$
$$E_{antes} = \frac{m_a^2V_a^2 +m_am_bV_a^2 + m_am_bV_b^2 +m_b^2V_b^2}{2(m_a + m_b)}$$
$$E_{antes} = \frac{m_a^2V_a^2 + 2m_am_bV_aV_b + m_b^2V_b^2 +m_am_bV_a^2 – 2m_am_bV_aV_b +m_am_bV_b^2}{2(m_a + m_b)}$$
$$E_{antes} = \frac{(m_aV_a +m_bV_b)^2 +m_am_b(V_a – V_b)^2}{2(m_a+m_b)}$$
Como a $$E_{antes}$$ apresenta o termo $$\frac{m_am_b(V_a – V_b)^2}{2(m_a + m_b)}$$ a mais que $$E_{depois}$$, a Energia cinética diminui após a colisão.
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A colisão é inelástica
b) A quantidade de movimento se conserva
c) A energia não se conserva.
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Intermediário:
[spoiler title=’Situação Física’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Nessa questão analisaremos uma situação de equilíbrio térmico, ou seja, uma situação em que a temperatura de nenhum ponto do sistema variará mais com o tempo. Em seguida, tornaremos isso um problema relacionado com calor Latente de fusão.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Admitindo-se o fluxo estacionário de calor, temos que:
$$\Phi _{Al} = \Phi _{Cu}$$
$$\frac{K_{Al}A(T_A – T)}{L_{Al}} = \frac{K_{Cu}A(T-T_B)}{L_{Cu}}$$
$$\frac{0,48(100 – T)}{5} = \frac{0,92(T – 0)}{10}$$
$$0,96(100 – T) = 0,92T$$
$$96 – 0,96T = 0,92T$$
$$1,88T = 96$$
$$T = \frac{96}{1,88}$$
$$T = 51^{ o }$$ $$C$$
b) Pegando o fluxo de calor na barra:
$$\Phi = \frac{K_{Cu}A(T – T_B)}{L_{Cu}}$$
$$\Phi = \frac{0,92*1*(51 – 0)}{10}$$
$$\Phi = 4,7$$ $$\frac{cal}{s}$$
Temos que:
$$\Phi = \frac{Q}{\Delta t}$$
$$Q =\Phi \Delta t$$
Mas $$Q$$ é a energia usada para fundir o gelo, logo:
$$Q = m_{fundida}L_{fusao}$$
$$m_{fundida}L_{fusao}= \Phi \Delta t$$
$$m_{fundida} = \frac{\Phi \Delta t}{L_{fusao}}$$
Substituindo os valores:
$$m_{fundida} = \frac{4,7*3600}{80}$$
$$m_{fundida} = 211,5$$ $$g$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$T=51$$ $$^{\circle} C$$
b) $$m_{fundida}=211,5$$ $$g$$
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Avançado:
[spoiler title=’Situação Física’ style=’default’ collapse_link=’true’]
A situação Física é bem simples. Temos uma partícula que não sofre uma força resultante externa e queremos provar a partir da segunda lei de Newton que essa se move em linha reta, entretanto, queremos fazer isso em coordenadas polares.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como nenhuma força atua na partícula, suas acelerações radial e tangencial são 0, logo:
$$0 = \ddot r – \dot \theta ^2 r$$
$$0 = 2\dot r \dot \theta + \ddot \theta r$$
Com isso:
$$\ddot r = \dot \theta ^2 r$$
$$-2\dot r \dot \theta = \ddot \theta r$$
$$-2 \frac{d \dot r }{dt} \theta = \frac{ d \dot \theta}{d t} r$$
$$-2 \frac{d r}{r} = \frac{d \dot \theta}{\theta}$$
$$-2 \int_{r_o}^r \frac{dr}{r} = \int_{\dot \theta _o }^{\dot \theta} \frac{d \dot \theta}{\dot \theta}$$
$$ln(\frac{r_o}{r})^2 = ln(\frac{\dot \theta}{\dot \theta _o}$$
$$(\frac{r_o}{r})^2 = \frac{\dot \theta}{\dot \theta _o}$$
$$\dot \theta = \frac{ \dot \theta _o r_o^2}{r^2}$$
Substituindo na aceleração radial:
$$\ddot r = \frac{\dot \theta _o^2 r_o^4}{r^4} r$$
$$\dot r \frac{d \dot r}{d t} = \frac{\dot \theta _o^2 r_o^4}{r^3}$$
$$\dot r d \dot r = \dot \theta _o^2 r_o^4 \frac{d r}{r^3}$$
$$\int_{\dot r_o}^{\dot r} \dot r d \dot r = \dot \theta _o^2 r_o^4 \int_{r_o}^{r} \frac{d r}{r^3}$$
$$\frac{\dot r ^2 – \dot r _o^2}{2} = -\frac{\dot \theta _o^2 r_o^4}{2} (\frac{1}{r^2} – \frac{1}{r_o^2})$$
Como $$r_o$$ é definido a partir do ponto onde ele fica mais próximo da origem, temos que $$\dot r_o = 0$$, por neste ponto ocorrer a inversão da velocidade, logo:
$$\dot r ^2 = \dot \theta _o^2 r_o^2 – \frac{\dot \theta _o^2 r_o^4}{r^2}$$
$$\dot r = (\dot \theta _o^2 r_o^2 – \frac{\dot \theta _o^2 r_o^4}{r^2})^{\frac{1}{2}}$$
$$\dot r = \dot \theta _o r_o (1 – \frac{r_o^2}{r^2})^{\frac{1}{2}}$$
$$\frac{dr}{dt} = \dot \theta _o r_o \sqrt{1 – \frac{r_o^2}{r^2}}$$
$$\frac{dr}{(1 – \frac{r_o^2}{r^2})^{1/2}} = \dot \theta _o r_o dt$$
$$\int_{r_o}^{r} \frac{dr}{\sqrt{1 – \frac{r_o^2}{r^2}}}=\int_0^t \dot \theta _o r_o dt$$
$$\int_{r_o}^{r} \frac{rdr}{\sqrt{r^2 – r_o^2}} = \dot \theta _o r_o t$$
Fazendo uma mudança de variável, chamando: $$u = r^2 – r_o^2$$ $$du = 2rdr$$
$$\int_{0}^{r^2 – r_o^2} \frac{du}{2\sqrt{u}} = \dot \theta _o r_o t$$
$$\frac{2(r^2 -r)o^2)^{\frac{1}{2}}}{2} = \dot \theta _o r_o t$$
$$r^2 – r_o^2 = \dot \theta _o^2 r_o^2 t^2$$
$$r = (r_o^2 + r_o^2 \dot \theta _o^2 t^2)^{\frac{1}{2}}$$
$$r = r_o(1 + \dot \theta _o^2 t^2)^{\frac{1}{2}}$$
Agora com $$r(t)$$ podemos substituir na fórmula do $$\dot \theta$$ para encontrar $$\theta (t)$$.
$$\dot \theta = \frac{\dot \theta _o r_o^2}{r^2}$$
$$\dot \theta = \frac{\dot \theta _o r_o^2}{ r_o^2(1 + \dot \theta _o^2 t^2)}$$
$$\frac{d \theta}{dt} = \frac{\dot \theta _o}{ 1 + \dot \theta_o^2 t^2}$$
$$d \theta = \frac{\dot \theta _o dt}{1 + \dot \theta_o^2 t^2}$$
Fazendo uma mudança de variável, chamando: $$v = \dot \theta _o t$$ $$dv = \dot \theta _o dt$$
$$d \theta = \frac{dv}{1 + v^2}$$
Outra mudança de variável, com: $$\tan(\alpha) = v$$ $$\frac{d \alpha}{\cos^2(\alpha)} = dv$$
$$d \theta = \frac{d \alpha}{\cos^2(\alpha)} \frac{1}{1 + \tan^2(\alpha)}$$
Como $$1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)}$$
$$d \theta = d \alpha$$
$$\int_0^{\theta} d \theta = \int_0^{\arctan (\dot \theta _o t)} d \alpha$$
$$\theta = \arctan(\dot \theta _o t)$$
$$\tan(\theta) = \dot \theta _o t$$
Mas pela equação de $$r(t)$$ tiramos que $$\dot \theta _o t = (\frac{r^2}{r_o^2} -1)^{\frac{1}{2}}$$, logo:
$$(\frac{1}{\cos^2(\theta)})^{\frac{1}{2}} = (\frac{r^2}{r_o^2} -1)^{\frac{1}{2}}$$
$$\frac{1}{\cos^2(\theta)} – 1 =\frac{r^2}{r_o^2} -1$$
$$\cos^2(\theta) = \frac{r_o^2}{r^2}$$
$$\cos(\theta) = \frac{r_o}{r}$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Demonstração.
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