Problema Iniciante (Solução por Daniel Lima)
Como $$2$$ é a média aritmética de $$1$$ e $$a$$, podemos escrever $$\dfrac{1+a}{2}=2$$ , logo $$a=3$$ ; Agora, $$b=\dfrac{1+2+3}{3}=2$$; $$c=\dfrac{1+3+2+2}{4}=2$$; também $$d=\dfrac{1+3+2+2+2}{5}=2$$. Esses exemplos sugerem que todos os termos, a partir do terceiro, são iguais a $$2$$. De fato, quando introduzimos em uma seqüência um termo igual à média de todos os termos da seqüência, a média da nova seqüência é a mesma que a da seqüência anterior. Assim, o último termo da seqüência dada é $$2$$.
Problema Intermediário (Solução por Daniel Lima)
a) Subtraindo as duas equações, temos que $$a^2-b^2=6(b-a) \Longrightarrow (a-b)(a+b)=6(b-a)$$ e como $$a$$ é diferente de $$b$$, podemos cancelar os $$a-b$$ nos dois lados e obter $$a+b=-6$$
b) Elevando $$a+b$$ ao quadrado obtemos: $$a^2+b^2+2ab=36$$ $$(1)$$
Somando as equações dadas obtemos $$a^2+b^2=6(a+b) + 10ab=-36+10ab$$ $$(2)$$
Agora, subtraindo $$(2)$$ de $$(1)$$ temos que $$(a^2+b^2+2ab)-(a^2+b^2)=36-(-36+10ab) \Longrightarrow 2ab=72-10ab \Longrightarrow 12ab=72 \Longrightarrow ab=6$$
Problema Avançado (Solução por Daniel Lima)
Seja $$k$$ inteiro positivo tal que $$k^2=n+1$$. Primeiro, notemos que o algarismo das unidades dos quadrados perfeitos são $$0$$, $$1$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$ e $$9$$, de modo que $$B$$ é igual a $$9$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$ ou $$8$$. Porém, podemos eliminar alguns casos:
- Se $$B = 9$$, pois nesse caso $$k^2 = AAABBB + 1$$ terminaria com exatamente três zeros (note que $$A$$ não pode ser igual a $$9$$, pois é diferente de $$B$$);
- Se $$B = 3$$,$$k^2$$ terminaria com $$34$$, e seria par e não múltiplo de $$4$$, já que os dois últimos algarismos de todo múltiplo de $$4$$ formam outro múltiplo de $$4$$, um absurdo.
- Se $$B = 4$$, $$k^2$$ terminaria com $$45$$, e seria múltiplo de $$5$$ mas não de $$25$$, já que os dois últimos algarismos de um múltiplo de $$25$$ são $$25$$, $$50$$, $$75$$ ou $$00$$. Outro absurdo.
Sobram somente os casos $$B = 5$$ e $$B = 8$$. Observe que $$n=k^2-1=(k+1)(k-1)=111 (1000A+B)$$, que é múltiplo de $$111=37*3$$ e, portanto, os primos $$3$$ e $$37$$ dividem $$(k+1)$$ ou $$(k-1)$$ e daí $$k=111x+1$$,$$k=111x-1$$,$$k=111x+38$$ ou $$k=111x-38$$. Além disso $$111556 \le k^2 \le 1000000 \Longrightarrow 300\le k \le 1000$$ e daí concluímos que $$3 \le k \le 9$$
• $$k=111x+1$$ ou $$k=111x-1$$
Temos $$AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-222x \Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-2x$$. O dígito das unidades de $$1000A+B$$ é $$B$$. Note que $$111x^2+-2x = 2(55x^2+-x) +x^2$$ tem a mesma paridade de $$x^2$$. Assim, se $$B=5$$, $$x$$ é ímpar, ou seja, é $$3$$, $$5$$, $$7$$ ou $$9$$. Se $$x=3$$, $$5$$, $$7$$, $$9$$ o algarismo da unidades de$$111x^2 +2x$$ é $$5$$, $$5$$, $$3$$, $$9$$,respsctivamente, o que implica que $$x=3$$ ou $$x=5$$ para os quais $$1000A+B$$ será $$111*9+6=1005$$ e $$111*25+10=2785$$ (Absurdo, pois $$1000A+B$$ é da forma $$AOOB$$), o que nos gera a solução $$x=3$$,$$A=1$$ e $$n=111555$$. Além disso, se $$x=3$$, $$5$$, $$7$$ ou $$9$$, o dígito das unidades de $$111x^2-2x$$ é $$3$$, $$5$$, $$5$$, $$3$$, respectivamente. Assim, as únicas possibilidades são $$x=5$$ e $$x=7$$, que nos daria $$1000A+B$$ igual a $$2765$$ ou $$111*49-14=5425$$ ,absurdo nos dois casos!
Se $$B=8$$, $$x$$ é par, ou seja $$4$$, $$6$$ ou $$8$$. Se $$x=4$$, $$6$$, $$8$$, o dígito das unidades de $$111x^2+2x$$ é $$4$$, $$8$$ ou $$0$$, respectivamente. Daí, só poderemos ter $$x=6$$ e $$1000A+B=111*36+12=4008$$, obtendo assim que $$A=4$$. Além disso, se $$x=4$$, $$6$$ ou $$8$$, o dígito das unidades de $$111x^2-2x$$ será $$8$$, $$4$$ ou $$8$$, respectivamente, nos dando que $$x=4$$ ou $$x=8$$, para os quais $$1000A+B$$ será $$111*16-11=1768$$ ou $$111*64-16=7088$$ e geramos absurdos nos dois casos.
• $$k=111k+38$$ ou $$k=111k-38$$
Temos $$AAABBB= k^2-1=(111x)^2 +-2*111*38x + 38^2 – 1=111(111x^2+-76x +13)\Longrightarrow 1000A+B = 111x^2+-76x +13$$. Faremos a mesma análise do dígito das unidades. Se $$B=5$$, $$x$$ é par, ou seja, é $$4$$, $$6$$ ou $$8$$. Se $$x=4, \ 6, \ 8$$ o algarismo da unidades de$$111x^2 +76x +13$$ é $$3, \ 5, \ 5$$ respectivamente, o que implica que $$x=6$$ ou $$8$$ para os quais $$1000A+B$$ será $$111*36 + 76*6+13=4465$$ e $$111*64+76*8+13=7725$$ (Absurdo nos dois casos, pois $$1000A+B$$ é da forma $$AOOB$$). Além disso, se $$x=4$$, $$6$$ ou $$8$$, o dígito das unidades de $$111x^2-76x +13$$ é $$5$$, $$3$$ ou $$9$$,respectivamente, de modo que $$x=4$$ e $$1000A+B=111*16-76*4+13=1485$$ o que não é possível.
Se $$B=8$$, $$x$$ é ímpar, ou seja: $$3$$, $$4$$, $$7$$ ou $$9$$. Se $$x=3$$, $$5$$, $$7$$, $$9$$, o dígito das unidades de $$111x^2+76x+13$$ é $$0$$, $$8$$, $$4$$ ou $$8$$ respectivamente. Daí, só poderemos ter $$x=5$$ ou $$x=9$$ para os quais $$1000A+B=111*25+76*5+13=3168$$(absurdo) ou $$k=111*9+38 \ge 1001$$ (absurdo de novo). Além disso, se $$x=3$$, $$5$$, $$7$$ ou $$9$$, o dígito das unidades de $$111x^2-76x + 13$$ será $$4$$, $$8$$, $$0$$ ou $$0$$, respectivamente, nos dando que $$x=5$$ e que $$1000A+B= 111*25-76*5+13=2408$$ nos dando um último absurdo.
Logo, só teremos duas soluções, que são $$AAABBB=111555$$ e $$AAABBB=444888$$
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