Soluções Semana 47

INICIANTE

Primeiro, devemos encontrar a altura alcançada pelo projétil.

Para isso, utilizaremos conservação de energia:

$K_1+U_1=K_2+U_2$

$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R+h}$

Substituindo valores e resolvendo para h:

$h=1.91\cdot 10^8$ $m$

Agora, vamos achar o semi-eixo maior da órbita degenerada:

$a=\frac{R+h}{2}$

$a=9.85\cdot 10^7$ $m$

Calculando o período, utilizando a Terceira Lei de Kepler:

$T=3.5$ $dias$

Como $P=\frac{M-M_L}{M}$, onde $M$ é a massa total da galáxia e $M_L$ é a massa luminosa da galáxia.

Sendo assim, devemos calcular individualmente $M$ e $M_L$, para então executar a operação anterior.

Calculando $M$:

Utilizando os dados da linha $H-\alpha$, podemos calcular a velocidade de recessão e de rotação:

Velocidade de recessão:

Faz-se a média dos comprimentos de onda observados, assim obtém-se:

$\lambda=658.14$ $nm$

a velocidade será:

$v=z\cdot c$

$v=847,96 km/s$

Pela lei de Hubble-Lemâitre:

$d=12,114$ $Mpc$

Calculando o raio da galáxia, utilizando a aproximação para pequenos ângulos:

$R=53kpc$

Calculando a velocidade de rotação na borda:

$v_{rot}=(\frac{658.52-658.14}{656.28})3\cdot 10^5 km/s$

Calculando a massa total:

$M=\frac{v^2 R}{G}$

$M=3.6890 \cdot 10^{11} M_\odot$

Calculando a magnitude absoluta da galáxia:

Utilizando o módulo de distância, temos:

$M=-20.216$

Calculando a luminosidade em luminosidades solares pela lei de Pogson:

$L=1.0152 \cdot 10^{10} L_{\odot}$

Consequentemente, a massa luminosa da galáxia é aproximadamente:

$M_L=1.0152 \cdot 10^{10} M_{\odot}$

Efetuando a operação explicada no início da resolução:

$P=97.3$ %

AVANÇADO

A razão sinal-ruído, expressa por $\frac{S}{R}$, pode ser calculada utilizando o erro de Poisson:

$\frac{S}{R}=\frac{N-B}{\sqrt{N+B}}$.

Onde $N$ é  o número de contagens e $B$ representa as contagens de fundo do céu.

Assim, temos que:

$\frac{S}{R}=\frac{S}{\sqrt{S+2B}}$.

Onde S é o número de contagens provenientes da fonte.

Dessa forma, temos que encontrar expressões para $S$ $B$:

Para $S$, temos:

$m=-2.5 log(C/1000)$

$C=10^{3-\frac{m}{2.5}}$

$S=C\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$

$S=10^{3-\frac{m}{2.5}} \cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$

Para $B$, temos:

Primeiro, devemos encontrar a área do disco de seeing da estrela.

$a=\pi(\frac{d}{2})^2$

Assim:

$m_{ceu}-22.5=-2.5log(\frac{a}{1})$

$m_{ceu}=24.3$

Logo:

$C_{ceu}=10^{3-\frac{m_{ceu}}{2.5}}$

$C_{ceu}=1.96\cdot 10^{-7}$

$B=C_{ceu}\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$

Substituindo:

$\frac{S}{R}=\frac{C\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q}{\sqrt{(C+2C_{ceu})\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q}}$

b) Substituindo valores na expressão anterior, temos, resolvendo para m, que:

$m=29.4$

c) Utilizando uma regra de três:

$\frac{206265 arcsec}{f}=\frac{0.5 arcsec}{54\cdot 10^{-6} m}$

$f=22.3$ $m$