INICIANTE
Primeiro, devemos encontrar a altura alcançada pelo projétil.
Para isso, utilizaremos conservação de energia:
$$K_1+U_1=K_2+U_2$$
$$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R+h}$$
Substituindo valores e resolvendo para h:
$$h=1.91\cdot 10^8$$ $$m$$
Agora, vamos achar o semi-eixo maior da órbita degenerada:
$$a=\frac{R+h}{2}$$
$$a=9.85\cdot 10^7$$ $$m$$
Calculando o período, utilizando a Terceira Lei de Kepler:
$$T=3.5$$ $$dias$$
Como $$h>>R$$, temos que esse período é essencialmente o tempo que o projétil leva para ir e voltar.
INTERMEDIÁRIO
Para calcular a porcentagem de matéria escura, devemos calcular o seguinte:
$$P=\frac{M-M_L}{M}$$, onde $$M$$ é a massa total da galáxia e $$M_L$$ é a massa luminosa da galáxia.
Sendo assim, devemos calcular individualmente $$M$$ e $$M_L$$, para então executar a operação anterior.
Calculando $$M$$:
Utilizando os dados da linha $$H-\alpha$$, podemos calcular a velocidade de recessão e de rotação:
Velocidade de recessão:
Faz-se a média dos comprimentos de onda observados, assim obtém-se:
$$\lambda=658.14$$ $$nm$$
a velocidade será:
$$v=z\cdot c$$
$$v=847,96 km/s$$
Pela lei de Hubble-Lemâitre:
$$d=12,114$$ $$Mpc$$
Calculando o raio da galáxia, utilizando a aproximação para pequenos ângulos:
$$R=53kpc$$
Calculando a velocidade de rotação na borda:
$$v_{rot}=(\frac{658.52-658.14}{656.28})3\cdot 10^5 km/s$$
Calculando a massa total:
$$M=\frac{v^2 R}{G}$$
$$M=3.6890 \cdot 10^{11} M_\odot$$
Calculando a magnitude absoluta da galáxia:
Utilizando o módulo de distância, temos:
$$M=-20.216$$
Calculando a luminosidade em luminosidades solares pela lei de Pogson:
$$L=1.0152 \cdot 10^{10} L_{\odot}$$
Consequentemente, a massa luminosa da galáxia é aproximadamente:
$$M_L=1.0152 \cdot 10^{10} M_{\odot}$$
Efetuando a operação explicada no início da resolução:
$$P=97.3$$ %
AVANÇADO
A razão sinal-ruído, expressa por $$\frac{S}{R}$$, pode ser calculada utilizando o erro de Poisson:
$$\frac{S}{R}=\frac{N-B}{\sqrt{N+B}}$$.
Onde $$N$$ é o número de contagens e $$B$$ representa as contagens de fundo do céu.
Assim, temos que:
$$\frac{S}{R}=\frac{S}{\sqrt{S+2B}}$$.
Onde S é o número de contagens provenientes da fonte.
Dessa forma, temos que encontrar expressões para $$S$$ $$B$$:
Para $$S$$, temos:
$$m=-2.5 log(C/1000)$$
$$C=10^{3-\frac{m}{2.5}}$$
$$S=C\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$$
$$S=10^{3-\frac{m}{2.5}} \cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$$
Para $$B$$, temos:
Primeiro, devemos encontrar a área do disco de seeing da estrela.
$$a=\pi(\frac{d}{2})^2$$
Assim:
$$m_{ceu}-22.5=-2.5log(\frac{a}{1})$$
$$m_{ceu}=24.3$$
Logo:
$$C_{ceu}=10^{3-\frac{m_{ceu}}{2.5}}$$
$$C_{ceu}=1.96\cdot 10^{-7}$$
$$B=C_{ceu}\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q$$
Substituindo:
$$\frac{S}{R}=\frac{C\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q}{\sqrt{(C+2C_{ceu})\cdot \pi (\frac{D}{2})^2 \cdot \Delta \lambda \cdot t \cdot q}}$$
b) Substituindo valores na expressão anterior, temos, resolvendo para m, que:
$$m=29.4$$
c) Utilizando uma regra de três:
$$\frac{206265 arcsec}{f}=\frac{0.5 arcsec}{54\cdot 10^{-6} m}$$
$$f=22.3$$ $$m$$