INICIANTE
Primeiro, devemos mostrar que a fórmula do momento angular de um sistema binário é:
$$L=\mu \omega r^2$$
Onde:
$$\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$$,
Uma grandeza conhecida como massa reduzida. (Confira a ideia)
Para isso, façamos:
$$L=L_1 + L_2$$
$$L=m_1 \omega r^2_1+ m_2 \omega r^2_2$$
Pela definição de centro de massa, temos:
$$r_1=\frac{\mu}{m_1} r$$ e $$r_2=\frac{\mu}{m_2} r$$
Substituindo e realizando as operações algébricas:
$$L=\mu \omega r^2$$
Agora, tomemos o sistema equivalente ao de dois corpos, no qual a massa reduzida orbita a soma das massas.
Nesse sistema, expressemos a área diferencial $$dA$$ em função de $$d \theta$$ e de $$r$$. Você também pode pensar como um $$\Delta A$$ em função de um $$\Delta \theta$$, ambos bem pequenininhos.
Assim temos, pela definição de setor circular:
$$dA=\frac{1}{2} r^2 d \theta$$
Ou, se você preferir, temos:
$$\Delta A=\frac{1}{2} r^2 \Delta \theta$$
Diferenciando em relação ao tempo:
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2} r^2 \frac{d \theta}{dt}$$
Ou se você preferir, dividindo por um $$\Delta t$$ bem pequenininho:
$$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{1}{2} r^2 \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$$
Assim:
$$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2} r^2 \omega$$
O que nada mais é do que:
$$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2 \mu}$$
Ou
$$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{L}{2 \mu}$$
Agora, integrando de $$0$$ a $$\pi a b$$ e de $$0$$ a $$P$$ em relação a $$dt$$ de ambos os lados, temos:
$$\pi a b=\frac{L}{2 \mu} P$$
Você também pode chegar na equação acima somando todos os $$\Delta A$$ e todos os $$\Delta t$$ e colocar $$\frac{L}{2 \mu}$$ em evidência, chegando assim, na área da elipse e no período orbital.
Assim, temos a Segunda Lei de Kepler para um sistema binário qualquer.
A partir dela, temos:
$$4\pi^2 a^2 b^2 =\frac{L^2}{\mu^2} P^2$$
Que se simplifica para:
$$ P^2=\frac{4\pi^2 a^2 b^2 \mu^2}{L^2}$$
$$ P^2=\frac{4\pi^2 a^2 b^2 \mu^2}{\mu^2 {\mid(\vec{v} \times \vec{r})\mid}^2}$$
Calculemos o produto vetorial de $$\vec{v}$$ e $$\vec{r}$$ no periélio, onde $$\theta=90^{\circ}$$.
Temos, por energia e momento angular, que $$v_p^2 =\frac{GM}{a}\frac{1+e}{1-e}$$ e temos, por geometria, que $$r_p=a(1-e)$$, além de que $$b^2=a^2 (1-e^2)$$.
Sendo assim, temos, finalmente, após as devidas substituições:
$$P^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3$$
Onde $$M=m_1+m_2$$
INTERMEDIÁRIO
Usando trigonometria e a definição de parsec, temos que o semi-eixo maior $$a=12.5 UA$$. Pela terceira lei de Kepler, temos que a soma das massas é $$m_1+m_2=3.125 M_\odot$$. Pelo efeito doppler e referencial de centro de massa, temos que $$m_2/m_1=2.75$$. Resolvendo o sistema, temos:
$$m_2=2.292$$
$$m_1=0.833$$
AVANÇADO
Primeiro, devemos encontrar as coordenadas do Sol no sistema horizontal. No entanto, para isso, devemos encontrá-las no sistema horário e então convertê-las.
Encontremos, por proporção, a longitude eclíptica do Sol na data:
$$l=90^{\circ} +\frac{8-21}{365.25} 360$$
$$l=77.2^{\circ}$$
Assim, encontremos a declinação utilizando o triângulo a seguir:
Créditos: BOCZKO, Roberto – Conceitos de Astronomia.
A declinação será, pela lei dos senos:
$$\frac{sen\delta}{sen\epsilon}=\frac{sen l}{sen 90^{\circ}}$$
$$\delta=22.8^{\circ}$$
Encontremos agora o ângulo horário do Sol no instante dado:
Nesta resolução, ignoraremos a equação do tempo, visto que seu valor não foi fornecido no problema:
Assim, sabendo que o meridiano local está 6.5 graus a oeste do meridiano da hora, sabemos que em Tabriz, a hora é 26 minutos a menos que no meridiano da hora. Assim, são $$10$$ $$h$$ $$34$$ $$min$$ da manhã. Portanto, o ângulo horário do Sol será de $$H=1$$ $$h$$ $$26$$ $$min=21.5^{\circ}$$
Desenhando o triângulo:
Usando lei dos cossenos, temos que:
$$h=66.2^{\circ}$$
E que:
$$A=56.7^{\circ}$$
Munidos das coordenadas horizontais do Sol e das duas leis da reflexão, podemos montar triângulos para encontrar as coordenadas do ponto para onde o reflexo aponta.
Encontrando $$\theta$$ por lei dos cossenos:
$$\theta=17.9^{\circ}$$
Encontrando $$\kappa$$ por lei dos cossenos:
$$\kappa=88.7^{\circ}$$
Encontrando $$h_R$$ por lei dos cossenos:
$$h_R=60.9^\circ$$
Encontrando $$\Delta A’$$ por lei dos cossenos:
$$\Delta A’=A_R-105=38.3^{\circ}$$
Finalmente:
$$A_R=143.3^{\circ}$$