Semana 44 (02 de abril de 2019)

Iniciante

Jamile escreve dois inteiros positivos $$a$$ e $$b$$ num quadro. Em cada minuto, ela apaga os dois números que estão escritos no quadro e escreve a soma e a diferença (positiva) deles. Prove que depois de $$20$$ minutos, existe um número escrito no quadro que é maior que $$1000$$.

Intermediário

Seja $$n$$ um inteiro positivo. Considere a sequência definida por

$$a_i =1$$ $$ \forall i=1,2,…,n-2$$

$$a_{n-1}=n-1$$

$$a_{k+n}= a_{k+n-1}+a_{k+n-2}+…+a_1$$ $$ \forall k \ge 0$$

Prove que se $$m$$ é um inteiro positivo, então existe um inteiro positivo $$p$$ (dependendo de $$m$$) com $$m|a_{p}$$.

Avançado

Determine todas as funções $$f$$ dos inteiros positivos nos inteiros positivos satisfazendo

$$f(f(n))=f(n)+1$$

para todo $$n$$ inteiro positivo.