Matemática - Semana 16

Iniciante

Ache todos os números de $5$ algarismo que são quadrados perfeitos e que ao remover seus dígitos das dezenas de milhar continuam quadrados perfeitos.

Um exemplo de tal número seria $75625$, pois $75625=275^2$ e $5625=75^2$

Intermediário

Esse é um fato que talvez seja básico, mas é muito importante para todo aluno olímpico: Dado $n$ inteiro positivo e $p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}...\cdot p_k^{a_k}$ a sua fatoração em números primos, então a quantidade de divisores inteiros positivos de $n$ é $(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$

Avançado

Em cada casinha de um tabuleiro $13X13$ está escrito um número inteiro. Sabe-se que os números de duas casinhas vizinhas, isto é, que tem um lado em comum, sempre diferem em uma unidade e que os número $2$ e $24$ aparecem duas vezem cada. Quantas vezes o número $13$ foi escrito? Dê todas as possibilidades.