Iniciante
Primeiro aplica-se logaritmo natural a ambos os lados da equação:
$$ \ln y = \ln x^x $$
Em seguida, deriva-se ambos os lados da equação:
$$ \ln y = x \ln x $$
$$ \displaystyle{ { 1 \over y } } y’ = x \displaystyle{ 1 \over x } + (1) \ln x $$
$$ = 1 + \ln x $$
Finalmente, multiplica-se os dois membros da equação por y:
$$ y’ = y (1 + \ln x)$$
Como $$y=x^x$$, temos que y’ é:
$$= x^x (1 + \ln x) $$
Intermediário
Começa-se com $$(x^2+y^2)^3 = 8x^2y^2$$ Depois, diferencia-se:
$$d[(x^2+y^2)^3] = d(8x^2y^2)$$
$$3(x^2+y^2)^2\cdot d(x^2+y^2)=8x^2\cdot d(y^2) + d(8x^2)y^2$$
$$3(x^2+y^2)^2(2x + 2yy’)=8x^2 (2yy’) + ( 16x ) y^2$$
$$6x(x^2+y^2)^2 + 6y(x^2+y^2)^2 y’ = 16x^2yy’ + 16xy^2$$
Organizando os termos da equação, tem-se que:
$$6y(x^2+y^2)^2y’ – 16x^2yy’=16xy^2 – 6x(x^2+y^2)^2$$
Isolando o y’:
$$y'[ 6 y (x^2+y^2)^2 – 16 x^2 y ] = 16 x y^2 – 6x (x^2+y^2)^2$$
Logo,
$$y’=\displaystyle{16xy^2 – 6x(x^2+y^2)^2 \over 6y(x^2+y^2)^2 – 16x^2y}$$
Portanto, a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto (-1,1) é
$$m=y’=\displaystyle{16(-1) (1)^2 – 6(-1) ((-1)^2+(1)^2)^2 \over 6 (1) ((-1)^2+(1)^2)^2 – 16 (-1)^2 (1)}= \displaystyle{8\over 8}=1$$
e a equação para a reta tangente é
$$y-(1)=(1) (x-(-1))$$
ou $$y = x + 2$$
Avançado
Já que g(x) é a antiderivada de f(x), tem-se que
$$g'(x)=f(x)$$
ou $$g(x)=\displaystyle \int_{a}^{x} \sqrt[3]{x^2+4x}dx$$
O truque aqui é não utilizar regras convencionais de integração, mas o seguinte:
$$h(x)=g(x)-7$$
Assim, h(x) é também antiderivada de f(x) e
$$h(5)=0$$
Pode-se escrever $$h(x)=\displaystyle \int_{5}^{x} \sqrt[3]{x^2+4x}dx$$
Note que quando substitui-se a por 5 temos $$h(x)=0$$, como desejado.
Desta forma, $$h(1)=\displaystyle \int_{5}^{1} \sqrt[3]{x^2+4x}dx=-10.88222$$
Finalmente, já que $$h(x) = g(x) – 7$$, segue que $$g(x) = h(x) + 7$$ e que $$g(1)=h(1)+7=-10.88222 + 7 = -3.88222$$
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