Iniciante:
Para $$V_{0}=0$$ temos:
$$V_{X}=at$$ e $$V_{Y}=gt$$
(Adotando a aceleração da nave em si como sentido negativo, e, na vertical, para baixo sendo positivo)
Nos levando a:
$$X_{(t)}=\frac{at^2}{2}$$ e $$Y_{(t)}=\frac{gt^2}{2}$$
Logo:
$$X=Y\frac{a}{g}$$
Ou seja, temos uma função linear. E para os casos pedidos:
$$a>>g \rightarrow$$ reta horizontal;
$$a=g \rightarrow$$ reta inclinada de $$45^0$$;
$$a<<g \rightarrow$$ reta vertical.
Imagem 01 – gravidade aparente e eixos rotacionados
Agora, se tivermos uma velocidade inicial $$V$$ diferente de $$0$$, formando um ângulo $$\alpha$$ com a vertical, no sentido antihorário, para simplificação, tal como visto na imagem 01, poderemos noticiar a gravidade aparente $$g’=\sqrt{a^2+g^2}$$, a qual forma um ângulo $$\theta$$ com a vertical, tal que $$tan{\theta}=\frac{a}{g}$$. Rotacionando a situação neste $$\theta$$ temos:
$$X’=V\sin{(\alpha-\theta)}t$$;
$$Y’=V\cos{(\alpha-\theta)}t+\frac{gt^2}{2}$$;
Logo:
$$X’=Y’\frac{2V\sin{(\alpha-\theta)}}{2V\cos{(\alpha-\theta)}}t+g’t^2$$
Sendo: $$t=\frac{X’}{V\sin{(\alpha-\theta)}}$$
Temos então:
$$\frac{g’}{V\sin{(\alpha-\theta)}}X’^2+2V\cos{(\alpha-\theta)}X’-2V\sin{(\alpha-\theta)}=0$$
Ou seja, temos em uma função genérica:
$$Y’=K_{1}X’^2+K_{2}X’+K_{3}$$
Descrevendo uma parábola. Encontramos assim a trajetória em eixos rotacionados. A razão destes comprimentos para os nos eixos horizontal e vertical da nave mudam, mas o desenho da trajetória permanece. E desta forma vemos que a trajetória do objeto é uma parábola, a qual tende a tangenciar a gravidade aparente ($$g’$$).
Intermediário:
Situação física: sabemos que quando um corpo se choca com outro de massa muito maior que a sua, a sua velocidade final em relação a este é igual a inicial. E quando um corpo se choca com outro de massa muito menor, sua velocidade permanece inaltera. Além disso, também sabemos que, sendo colisões elásticas, a energia mecânica é conservada.
Quando a bola grande chega ao chão temos, pela transformação de energia potencial em cinética:
$$V=\sqrt{2gH}$$
A bolinha terá caído a mesma distância $$H$$ quando chocar-se com a bola grande, pois irá da altura, em relação ao solo, $$H+R$$ a altura $$R$$. Assim sendo temos que a velocidade de aproximação delas é de:
$$V_{i}=2\sqrt{2gH}$$
E como $$M>>m$$, a bola grande após se chocar com a pequena permanece subindo com a mesma velocidade que tinha. E como ambas se movem para cima, a velocidade de afastamento é dada por:
$$V_{f}=v-V$$
Onde $$v$$ é a velocidade da bolinha após o choque. Usando que $$V_{I}=V_{f}$$. obtemos:
$$v-V=V_{i} \rightarrow v=V_{i}+V=3\sqrt{2Hg}$$
E conservando a energia novamente e lembrando que a bolinha começa a subir já de uma altura $$R$$, obtemos:
$$H’=9H+R$$
É fácil ver que temos uma relação do tipo:
$$v_{N}=2v_{N-1}+V$$
E assim encontramos a progressão:
$$v_{N}=(2^N-1)V$$
E por tanto, temos que a altura atingida pela enésima bolinha $$h_{N}$$, em relação ao seu ponto inicial, corresponde a:
$$h_{N}=(2^N-1)^2H$$
Avançado:
Situação Física: O momento angular do sistema se conserva, sendo igual a $$0$$.
Temos que momento angular se da por:
$$L=Iw$$
Sendo $$w$$ a velocidade angular do corpo e $$I$$ momento de inércia, dedo pela expressão:
$$\int_{Vol.}{r^2dm}$$
Onde $$r$$ é a distância do corpo ao eixo de giração. Para um disco, uma forma mais simples é integrar como se fossem anéis concêntricos com seus raios indo de $$0$$ ao raio do disco. Obtemos:
$$I_{CM}=\frac{MR^2}{2}$$
Contudo o eixo de giração não está no centro de massa do disco (CM) e sim em sua borda ($$I_{R}$$). Pelo teorema dos eixos paralelos temos:
$$I_{r}=I_{CM}+Mr^2 \rightarrow I_{R}=\frac{3}{2}MR^2$$
Deste modo:
$$L_{Disc}=\frac{3}{2}MR^2\dot{\alpha}$$
Sendo $$\alpha$$ o ângulo percorrido pelo disco em relação ao pivô.
Para o cão, podemos trata-lo como pontual e obter:
$$I_{toto}=mR’^2\dot{\theta}$$
É simples ver que $$R’=2R\sin{\frac{\gamma}{2}}$$
Uma maneira de enxergar o $$\theta$$ é adotando um eixo como referência e vendo o ângulo que o vetor distância que liga o cão ao eixo pivotado do disco faz com este. O eixo a ser posto como referencial deve ser o mesmo usado para se obter $$\alpha$$, afim de se manter consistência na análise. O modo simples de faze-lo é utilizar como eixo a reta que passa pelo ponto pivotado e posição inicial do centro do disco, pois com este é fácil de se obter $$\alpha$$. Ps.: lembre-se que o cão gira no sentido oposto ao do disco e isto deve ser considerado na marcação do ângulo. Assim encontramos:
$$\theta=\frac{\pi}{2}+\alpha-\frac{\gamma}{2} \rightarrow \dot{\theta}=\dot{\alpha}-\dot{\frac{\gamma}{2}}$$
No fim, para que $$L_{T}=0$$, temos:
$$\frac{3}{2}MR^2\dot{\alpha}=-4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}(\dot{\alpha}-\dot{\frac{\gamma}{2}})$$ $$\rightarrow \frac{d\alpha}{dt}(\frac{3}{2}MR^2+4mR^2\sin^2{\frac{(\gamma}{2})})=4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}\frac{d(\frac{\gamma}{2})}{dt}$$
E assim obtemos a relação:
$$\alpha=\int{\frac{4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}d(\frac{\gamma}{2})}{\frac{3}{2}MR^2+4mR^2\sin^2{(\frac{\gamma}{2})}}}$$