Escrito por Luís Sá
Iniciante:
[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]Uma situação clássica de conservação da quantidade de movimento.[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Adotando o sentido positivo para a direita:
$$0=m_{p}V_{p}+m_{a}V_{a}$$
$$V_{a}=-\frac{m_{p}V_{p}}{m_{a}}$$
$$V_{a}$$=$$-4$$ $$\frac{m}{s}$$
$$|V_{a}|$$=$$4$$ $$\frac{m}{s}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$|V_{a}|$$=$$4$$ $$\frac{m}{s}$$
[/spoiler]
Intermediário:
[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]O problema apresenta a variação da velocidade de propagação de ondas transversais em um fio por meio da mudança da tração nesse fio.[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
1. Descobrindo a tração
$$T=mg-E$$
$$T=\rho_{b}V_{t}g-\rho{a}V_{i}g$$
No 1° caso, como $$V_{i}=0$$, temos:
$$T_{1}=\rho_{b}V_{t}g$$
No 2° caso, como $$V_{i}=\frac{2}{3}V_{t}$$, temos:
$$T_{2}=V_{t}g\big(\rho_{b}-\frac{2}{3}\rho_{a}\big)$$
2. Velocidade de propagação:
$$v=\sqrt{\frac{T}{\lambda}}$$
Como $$v_{2}=0,955v_{1}$$, temos:
$$\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}=0,955$$
$$\frac{\big(\rho_{b}-\frac{2}{3}\rho_{a}\big)}{\rho_{b}}=0,955^{2}$$
$$\rho_{b}\approx7,6\rho_{a}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\rho_{b}\approx7,6\rho_{a}$$
[/spoiler]
Avançado:
[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]A questão apresenta uma oscilação amortecida forçada, em que a solução para $$x$$ é dada pela soma de duas outras, a estacionária e a homogênea, mas o problema nos pede para analisar apenas a estacionária.[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
1. Equação do movimento:
$$a+{\gamma}v+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}cos({\omega}t)}{m}$$
2. Para encontrarmos a solução estacionária para equações desse tipo supomos $$x$$ é a parte real da equação:
$$x=Re\big[Ce^{i{\omega}t}\big]$$
Utilizando que $$a$$ e $$x$$ estão relacionas pela derivadas de $$x$$ em relação ao tempo e a equação do movimento, temos:
$$-\omega^{2}C+i{\omega}C+\omega^{2}C=\frac{F_{0}}{m}$$
$$C=\frac{F_{0}}{m\big[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+i{\omega}{\gamma}\big]}$$
$$C=\frac{F_{0}e^{-i\phi}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$$
$$\phi=tan^{-1}\bigg[\frac{\omega\gamma}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\bigg]$$
Logo:
$$x=Re\Bigg[\frac{F_{0}e^{{i\omega}t-i\phi}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}\Bigg]$$
$$x=\frac{F_{0}cos({\omega}t-\phi)}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$$
$$v=\frac{-F_{0}{\omega}sen({\omega}t-\phi)}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$$
a)
Para encontrar a amplitude máxima, podemos reescrever a amplitude como:
$$A=\frac{F_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}$$
Devemos então, minimizar o termo dentro da raiz, fazemos isso ao derivar o mesmo em relação a $$\omega$$ e igualar a zero.
$$2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}).(-2\omega)+2\omega\gamma^{2}=0$$
$$\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}}$$
Assim:
$$A_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}}$$
b)
Para a amplitude da velocidade ser máxima, reescreveremos a mesma como:
$$|\omega A|=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}{\omega^{2}}+\gamma^{2}}$$
Reescrevendo dessa forma, fica fácil notar que temos um pico em $$\omega=\omega_{0}$$, logo:
$$|(\omega A)|_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$A_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}}$$
b) $$|(\omega A)|_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma}$$
[/spoiler]
Deixe um comentário