Escrito por Ualype Uchôa
A ideia de hoje apresentará uma importantíssima ferramenta da Óptica que possui uma aplicação extremamente útil e elegante em problemas de cinemática (mais especificamente, de otimização de trajetórias). Essa ideia é recomendada para estudantes do Nível 2, mas é também muito interessante de ser vista por alunos de níveis posteriores (e seletiva) que ainda não possuam o conhecimento do assunto. O entendimento completo da ideia a seguir necessita de noções de cálculo, mas não se preocupe caso não saiba.
O Princípio de Fermat em problemas de Cinemática
Um problema-base
Antes de tudo, imaginemos o seguinte problema de cinemática, que foi proposto no nível intermediário dos Problemas da Semana 62:
Um salva-vidas necessita de ajudar uma pessoa que está prestes a se afogar. Ele se encontra no ponto $$A$$ a uma distância $$D$$ do mar. Sua velocidade na areia é de $$v$$ e na água é de $$u$$ e a pessoa se encontra no ponto $$B$$, no mar, a uma distância $$d$$ da areia. A linha que liga ambos não é perpendicular com a intersecção mar-areia. Definindo o eixo $$y$$ como paralelo a intersecção areia-mar e $$x$$ como perpendicular, temos que a distância em $$x$$ entre eles é dada por $$D+d$$ e em $$y$$ por $$L$$. Como o salva-vidas deve se movimentar de tal forma que ele consiga alcançar a pessoa no menor tempo possível? As velocidades são dadas em relação à terra; considere que as águas do mar estão em repouso.
Figura 1: Imagem para o problema.
Ao responder essa pergunta, é necessário muita cautela. Você poderia pensar que a resposta seria simplesmente ir em linha reta de $$A$$ até $$B$$, percorrendo parte do trajeto no solo e o restante nadando, de tal forma a percorrer a menor distância; isso seria verdade apenas se o salva-vidas se movimentasse com a mesma velocidade no solo e na água, o que não é o caso. Sendo assim, concluímos que o salva-vidas deve percorrer uma certa distância em linha reta no solo, e, em um certo ponto, mergulhar no mar e mover-se em linha reta até o banhista. Vamos propor duas soluções: a primeira, utilizando derivadas (força-bruta), e a segunda, utilizando o poderoso Princípio de Fermat (depois de o apresentarmos).
Solução 1 (Usando Cálculo):
Essa solução consiste no método da “força-bruta”: escrevemos o tempo total de viagem $$t(q)$$ como função de um parâmetro variável desconhecido $$q$$ (como um ângulo ou distância), derivamos o tempo em relação à esse parâmetro e igualamos a zero para encontrar o valor de $$q$$ que minimiza a função $$t(q)$$; com isso, achamos o tempo mínimo. Veja o esquema da trajetória do salva vidas, descrita pelas linhas tracejadas:
Figura 2: Imagem para a solução do problema-base.
Vamos escolher a distância $$y$$ como o nosso parâmetro. Separando o tempo total em $$t_1$$ e $$t_2$$, os tempos gastos no solo e na água, respectivamente. Assim, escrevamos:
$$t=t_1+t_2$$,
$$t=\dfrac{x_1}{v}+\dfrac{x_2}{u}$$.
Onde $$x_1$$ e $$x_2$$ são as distâncias percorridas em cada meio. Pela geometria, vale:
$$t=t(y)=\dfrac{\sqrt{y^2+D^2}}{v}+\dfrac{\sqrt{\left(L-y\right)^2+d^2}}{u}$$,
Para acharmos o mínimo da função, tornemos nula sua derivada com relação à $$y$$:
$$\dfrac{dt(y)}{dy}=0$$,
o que resulta em
$$\dfrac{y}{v\sqrt{y^2+D^2}}-\dfrac{L-y}{u\sqrt{\left(L-y\right)^2+d^2}}=0$$.
Mas perceba que $$\dfrac{y}{\sqrt{y^2+D^2}}=\sin{\theta_1}$$ e $$\dfrac{L-y}{\sqrt{\left(L-y\right)^2+d^2}}=\sin{\theta_2}$$. Desta forma, achamos uma interessantíssima relação entre as velocidades em cada meio e os ângulos de inclinação das trajetórias com a normal à intersecção:
$$\boxed{\dfrac{\sin{\theta_1}}{v_1}=\dfrac{\sin{\theta_2}}{v_2}}$$.
Isso te lembra alguma outra relação física? Se você disse Lei de Snell, você captou o sentimento dessa ideia! A próxima seção exemplificará onde desejamos chegar com essa analogia entre óptica geométrica e cinemática:
O Princípio de Fermat
Na Óptica Geométrica, há um princípio físico fundamental acerca da propagação da luz, desenvolvido pelo advogado e físico Pierre de Fermat (1607-1665), que leva o nome de seu criador. Ele nos diz que:
“O caminho tomado pela luz entre quaisquer dois pontos é tal que o seu caminho óptico é minimo.”
Ou, de forma equivalente e menos formal:
“O caminho tomado pela luz entre quaisquer dois pontos é tal que o trajeto é feito no menor tempo possível.”
O que também o leva a ser chamado de Princípio do tempo mínimo. Uma das consequências disso é a de que, em um meio homogêneo (isto é, com índice de refração constante) a velocidade da luz não varia ponto-a-ponto, e o caminho tomado pela luz entre dois pontos quaisquer é uma reta (de forma a percorrer o tempo mínimo, pois a menor distância entre dois pontos é uma reta); isso corresponde à propagação retilínea da luz.
Outra consequência disso é a Lei de Snell, que dita o comportamento de um raio de luz ao viajar através de meios com diferentes índices de refração. Quando a luz muda de meio, ela sofre um desvio em relação à sua trajetória original, para que ela se movimente no trajeto que lhe fornece o tempo mínimo. Então, se escolhermos os pontos fixos $$A$$ no meio com índice de refração $$n_1$$ e $$B$$, no meio com índice de refração $$n_2$$, teremos que a luz, partindo de $$A$$ incide com um ângulo $$\alpha_1$$ em relação à normal com a interface, e é refratada a um ângulo $$\alpha_2$$, chegando então em $$B$$, de tal forma que
$$\boxed{n_1 \sin{\alpha_1}=n_2 \sin{\alpha_2}}$$.
Figura 3: Raio de luz se propagando entre dois meios com diferentes índices de refração.
Ou, em termos da velocidade da luz em cada meio – sejam elas $$v_1$$ e $$v_2$$, para os meios $$1$$ e $$2$$, respectivamente (estamos considerando que são as mesmas em todas as direções; isto é, os meios são isotrópicos) – temos: –
$$\boxed{\dfrac{\sin{\alpha_1}}{v_1}=\dfrac{\sin{\alpha_2}}{v_2}}$$.
A demonstração da Lei de Snell pode ser encontrada na Ideia 11, e é feita de uma maneira análoga à primeira solução do problema-base; escrevemos o tempo total em função de um parâmetro variável; como o tempo deve ser mínimo pelo príncipio de Fermat, derivamos a função e igualamos a zero obtendo as relações mostradas.
Mas, como esses resultados nos ajudam? Bem, como sabemos que a luz sempre se move de forma a fazê-lo no menor tempo, podemos, em problemas de otimização (tempo mínimo) como o problema-base, imaginar qual caminho a luz tomaria? Em questões nas quais somos fornecidos as velocidades em diferentes meios, e há uma transição entre estes, A Lei de Snell será certamente obedecida, e nos permitirá resolver problemas desse tipo de uma forma mais imediata do que a “força-bruta”. Veja por exemplo, a solução 2 do problema-base:
Solução 2 (Por “Lei de Snell”):
Para que o salva-vidas consiga chegar em $$B$$ no tempo mínimo, ele deve se mover da forma como a luz faria (pelo Princípio de Fermat) caso se movimentasse através de dois meios, nos quais sua velocidade é $$v$$ e $$u$$, respectivamente. Neste caso, a Lei de Snell, é válida, e escrevemos que
$$\dfrac{\sin{\theta_1}}{v}=\dfrac{\sin{\theta_2}}{u}$$.
Relacionando os parâmetros geométricos do problema e as velocidades, juntamente com a relação acima, encontramos facilmente o tempo de viagem, por exemplo, bem como as distâncias percorridas pelo salva-vidas na areia e na água.
O problema da Braquistócrona
Um outro problema que pode ser resolvido elegantemente através do Princípio de Fermat é o célebre problema da Braquistócrona. Ele foi proposto pelo físico Johann Bernoulli (1667-1748), em 1696. Podemos enunciá-lo da seguinte forma:
“Fixados dois pontos $$A$$ e outro mais abaixo $$B$$ (que não está diretamente abaixo de $$A$$) no espaço, numa região com campo gravitacional uniforme, qual deve ser a trajetória de uma partícula (há ausência de atritos), se quando abandonada de $$A$$, chega em $$B$$ no menor tempo possível?”
Existem diversas soluções possíveis para esse mesmo problema; uma delas será deixada como desafio. Nos preocuparemos em apresentar a solução feita pelo próprio Bernoulli.
Solução:
Devido às considerações que vimos anteriormente, Bernoulli imaginou a partícula viajando entre $$A$$ e $$B$$, como um feixe de luz num meio no qual a sua velocidade se comporta de um modo análogo à da partícula sujeita uma aceleração vertical constante $$g$$, da gravidade. Por conservação de energia, a velocidade da partícula (que estamos tratando como a velocidade da luz nesse “meio”) na coordenada $$y$$ será $$v=\sqrt{2gy}$$. O índice de refração desse meio tomará, então, a seguinte forma:
$$n=\dfrac{c}{v}=\dfrac{c}{\sqrt{2gy}}$$.
Veja que ele é função apenas de $$y$$. Sendo assim, o produto do índice de refração desse meio (que é função de $$y$$) pelo ângulo de inclinação da trajetória com a vertical deve ser constante, pela Lei de Snell:
$$n(y)\sin{\theta}=cte$$.
Logo:
$$\dfrac{c}{\sqrt{2gy}}\sin{\theta}=cte.$$,
$$\boxed{\dfrac{\sin{\theta}}{\sqrt{y}}=cte.}$$.
A princípio, o problema está resolvido; você pode não ter percebido, mas a equação acima caracteriza uma curva conhecida: a cicloide. Dessa forma, fixados dois pontos $$A$$ e $$B$$ no espaço, a trajetória de uma partícula que resulta no menor tempo de viagem é um arco de cicloide. Uma demonstração do fato (não-trivial) utilizado segue abaixo.
Demonstração:
Ao chegar na equação final apresentada, Bernoulli prosseguiu de outra forma. No entanto, o físico Mark Levi apresentou uma interessante construção geométrica para demonstrar geometricamente a validade dessa relação para uma curva cicloidal; lembre-se que uma cicloide pode ser construída analisando-se a trajetória de um ponto na periferia de um disco que gira sem deslizar num plano horizontal:
Figura 4: Imagem para a demonstração.
A trajetória cicloidal do ponto $$D$$ está indicada em vermelho. Sabemos que, a todo instante, a direção da velocidade desse ponto corresponde à direção da reta tangente à sua trajetória (em verde). Seja $$B$$ a outra intersecção desta reta com a circunferência. Além disso, a velocidade desse ponto é perpendicular à reta que o liga ao ponto $$O$$ (que está em contato com o solo), tendo em vista que este é o $$C.I.R$$ (ver Ideia 08). Logo, o triângulo $$\Delta BDO$$ é retângulo em $$D$$, que implica que sua hipotenusa é o diâmetro da circunferência; mas isto só é possível se o ponto $$B$$ estiver no eixo vertical, logo abaixo de $$O$$:
Figura 5: Imagem para a demonstração.
Seja $$\theta$$ o ângulo que a curva faz com o eixo $$y$$. Da geometria da figura, decorre que:
$$r=2R\sin{\theta}$$,
$$y=r\sin{\theta}=2R\sin^2{\theta}$$, $$\therefore$$
$$\therefore$$ $$\boxed{\dfrac{\sin{\theta}}{\sqrt{y}}=\sqrt{\dfrac{1}{2R}}=cte.}$$ $$c.q.d.$$
A análise feita aqui também pode ser encontrada no interessantíssimo vídeo do canal “3Blue1Brown”.
Problemas Relacionados:
1) Outro salva-vidas
Um salva-vidas muito atento está parado na areia, na costa da praia, no ponto $$A$$. Ao perceber que um banhista está se afogando no ponto $$B$$, a uma distância $$D$$ da areia e $$l$$ de $$A$$, ele prontamente se põe a correr para salvá-lo. Sabendo que ele corre com velocidade $$v$$ na areia e nada com $$u$$ ($$u<v$$), a que distância $$x$$ do ponto $$A$$ ele deve mergulhar para conseguir alcançar o banhista o mais rápido possível?
Figura 6: Imagem para o problema 1.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$x=l-\dfrac{u}{\sqrt{v^2-u^2}}D$$.
[/spoiler]
2) Tempo na braquistócrona
Considere dois pontos $$A$$ e $$B$$ no espaço separados de uma distância $$L$$ e localizados em um mesmo nível horizontal. Um trilho perfeitamente liso que conecta os dois pontos é produzido de tal forma que, ao abandonar-se uma bolinha em $$A$$, ela chega em $$B$$ no menor tempo possível. Determine tal intervalo de tempo em função de $$L$$ e $$g$$ (aceleração da gravidade, que aponta verticalmente para baixo).
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Como fora visto anteriormente, o caminho entre $$A$$ e $$B$$ deve possuir o formato de um arco de cicloide. Lembre-se de que uma curva cicloidal é formada a partir do movimento de um ponto na periferia de um círculo em rolamento perfeito.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\boxed{T= \sqrt{2\pi \dfrac{L}{g}}}$$
[/spoiler]
3) Lei de Snell (Jaan Kalda)
Cornelius mora na costa $$OP$$ de uma baía $$MOP$$. Duas costas da baía fazem um ângulo $$\alpha$$. A casa dele está localizada a uma distância $$h$$ da costa e $$\sqrt{h^2+l^2}$$ do ponto $$O$$. Ele deseja pescar na costa $$OM$$. Em qual posição $$x$$ a posição de pesca deve se localizar para que Cornelius leve o menor tempo possível na sua viagem até esse ponto partindo de sua casa? Qual é esse tempo mínimo? Cornelius move-se com velocidade $$v$$ no solo e com velocidade $$u<v$$ usando sua balsa.
Figura 7: Imagem para o problema 2.
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Defina $$\beta$$ mediante;
\[\sin{\beta}=\dfrac{v\sin{\alpha}}{u}\]
Para $$\tan{\beta}\le{\dfrac{l}{h}}$$:
\[x=\cos{\alpha}\left(l-h\tan{\beta}\right)\]
e
\[t=\dfrac{h\cos{\beta}}{v}+\dfrac{l\sin{\alpha}}{u}\]
Caso a condição acima não for respeitada:
\[x=0\]
e
\[t=\dfrac{\sqrt{l^2+h^2}}{v}\]
[/spoiler]
4) E com correnteza? (Jaan Kalda)
Um menino está situado no ponto $$A$$ em um rio, a uma distância $$a$$ da margem do rio. Ele pode nadar com velocidade $$u$$ ou correr com velocidade $$v$$ na praia; a água flui no rio a uma velocidade $$w > u$$. O menino quer chegar ao ponto $$C$$, na margem, no menor tempo possível. A que distância $$x$$ do ponto $$B$$ alinhado com o ponto $$A$$ ele deve sair da água?
Figura 8: Imagem para o problema 3.
[spoiler title=’Dica’ style=’default’ collapse_link=’true’]
O princípio de Fermat só é aplicável se os pontos de saída e chegada forem fixos; isto é, estão em repouso., o que não é o caso aqui. Você pode tentar mudar de referencial de forma que a Lei de Snell continue válida!
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$x=a\left(\dfrac{w}{u\cos{\alpha}}-\tan{\alpha}\right)$$, onde $$\alpha=arcsin\left(\dfrac{u}{w+v}\right)$$.
[/spoiler]