INICIANTE
$$T\cdot \lambda_{max} =2.898\cdot 10^{-3}$$
$$T=\dfrac {2.898\cdot 10^{-3}}{550 \cdot 10^{-9}}$$
$$T=5269K$$
$$T^4\cdot \sigma = F$$
$$F=5269^4 \cdot 5.67 \cdot 10^{-8}$$
$$F=4.37 \cdot 10^7$$
$$L=F\cdot 4\pi \cdot R_{Sol}^2$$
$$L=4.37 \cdot 10^7\cdot 4\pi \cdot (6.96 \cdot 10^8)^2$$
$$L=2.66 \cdot 10^{26}$$
INTERMEDIÁRIO
Existem 2 situações que devemos analisar:
Situação 1
Considerando apenas o limite de frequências captadas pelo aparato, utilizamos a frequência mínima de modo a obter o maior redshift possível:
$$z=\frac{f_0-f}{f_0}$$ $$\rightarrow $$ $$z=\frac{1,42-1,32}{1,42}=0,07$$
Situação 2
Agora analisaremos o menor fluxo que o receptor consegue captar. A partir disto, podemos encontrar a distância do objeto à Terra e assim descobrir seu redshift. Sabemos que:
$$v=H_0 d \rightarrow d=\frac{c z}{H_0}$$
Assim, a densidade de fluxo da galáxia será:
$$S=\frac{L}{4 \pi d^2 \Delta f}=\frac{L H_0^2}{4 \pi \Delta f c^2 z^2} \geq S_{max}=0,5 . 10^{-26}$$
Assim, encontramos o máximo z:
$$z=\frac{H_0}{c} (\frac{L}{4 \pi \Delta f S_{max}})^{0,5}=\frac{72}{2,99 . 10^5 . 3,08 . 10^{22}} (\frac{10^{28}}{4 \pi . 10^6 . 0,5 . 10^{-29}})^{0,5} \rightarrow z=0,098$$
Comparando os dois resultados, chegamos à conclusão de que o máximo redshift é z=0,098.
AVANÇADO
a) No referencial da Terra, nenhum efeito relativístico ocorre, já que os valores foram tomados nesse referencial. Assim:
$$t=\frac{l}{v_A+v_B} = 1s$$
b) Para encontrar as coordenadas de $$B$$ no referencial de $$A$$, podemos utilizar as transformações de Lorentz: (aqui você pode refrescar sua memória)
$$\Delta x’ = \gamma (\Delta x – v_A \Delta t)$$
$$\Delta t’ = \gamma (\Delta t – \frac{v_A \Delta x}{c^2})$$
Onde $$\Delta x$$ é a distância percorrida pelo objeto desejado, no caso a nave $$B$$, no referencial da Terra; e $$\Delta x’$$ é a distância percorrida pelo mesmo objeto, a nave $$B$$, no referencial de A.
Logo, velocidade de $$B$$ no referencial de $$A$$ é:
$$v’_B=\frac{\Delta x’}{\Delta t’}= \frac{\Delta x – v_A \Delta t}{\Delta t – \frac{v_A \Delta x}{c^2}}$$
$$\Rightarrow v’_B=\frac{v_B-v_A}{1-\frac{v_A v_B}{c^2}} = \frac{-0,6c-0,8c}{1-(-0,6c)(0,8c)/c^2}=-0,95c$$
Onde orientei o crescimento para a direita como postivo e utilizei dois algarismos significativos, assim como o enunciado.
Fica claro que, no referencial de $$B$$, todas as contas serão análogas, havendo uma mudança somente do sinal de $$v’_A$$ que fica positivo (indo para a direita)
c) Um jovem gafanhoto pode até dizer: “como as velocidades relativas possuem o mesmo módulo, então os tempos tem que valer o mesmo valor para ambos os referenciais!”. Porém ele estaria enganado! A visualização fica mais fácil vendo no referencial da Terra.
Pela dilatação do tempo: $$t’=\frac{t}{\gamma}$$, onde $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ . Logo:
$$t_A=t \sqrt{1-\frac{v_A^2}{c^2}} = 3 \cdot 0,6=1,8s$$
$$t_B=t \sqrt{1-\frac{v_B^2}{c^2}} = 3 \cdot 0,8=2,4s$$