Astronomia – Semana 122

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

Corrida Terreno-Marciana

Uma civilização extraterrestre observa o sistema solar a partir do Polo Norte ecliptico, bem acima do centro do Sol. Eles percebem dois planetas, Marte e Terra. Os extraterrestres decidem fazer um exercício e calcular o quanto a Terra é “mais rápida” do que Marte. No referencial dos extraterrestres, o quão mais rápido a velocidade angular da Terra parece ser mais rápida que a de Marte?

Dados: Semi eixo maior da Terra: $a_T = 1\text{ UA}$, semi eixo maior de Marte: $a_M = 1,5\text{ UA}$.

Intermediário

Olhando para o céu

Na figura a seguir, temos uma carta celeste. Nessa questão, vamos testar seu conhecimento com perguntas rápidas sobre o céu e sobre a carta em questão. A carta foi feita em uma progeção de Aire, o que significa que as distâncias zenitais seguem uma proporção linear e que o azimulte das estrelas não foi alterado.

a) Qual o nome da linha verde?

b) Quantas constelações passam por ela?

c) Qual o nome da linha cinza?

d) Quantas constelações passam por ela?

e) Marque os pontos cardeias na carta

f) Qual a litude do local em que a carta foi feita?

Avançado

Mauí e pupílas dilatadas

Ao olhar para uma fonte de luz bem luminosa, a nossa pupíla se contraí para que nosso aparelho visual não seja danificado por uma enorme quantidade de luz. Já, ao se olhar para uma fonte com pouca luz, a nossa pupíla se dilata para conseguirmos receber mais luz.

Enquanto passeava com seu macaco de estimação, Mauí percebeu que após olhar para um poste olhou para o céu e conseguia ver somente a estrela PraLu, que possuí magnitude $m_{PL} = 4,5$. Depois de $3s$ olhando para o céu, ele também conseguiu ver a estrela YaFi, de magnitude $m_{YF} = 5,5$. Sabendo disso, qual a velocidade média de dilatação da pupíla de Mauí?

Dados: A pupíla humana dilatada possuí $6\text{ mm}$ e consegue enchergar uma magnitude limite de $m_{lim} = +6$.

Internacional

Cosmologia Parcialmente focada

A famosa equação de Friedmann tem cara

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2\equiv H^2 = \frac{8\pi G\varepsilon}{3c^2} - \frac{kc^2}{a^2}$$

Onde $\varepsilon$ é a densidade de enrgia do universo e $k$ é uma constante positiva, para um universo fechado. O intúito dessa questão é resolver a equação de Friedmann para conseguirmos encontrar uma relação entre o fator de escala, $a$ e o tempo, $t$.

a) Re-escreva a equação de Friedmann em função do parâmetro de densidade, $\Omega$, da constante $k$ e outras constantes fundamentais.

b) Agora, só nos resta resolver a equação diferencial que restou. Para tornar essa tarefa mais simples, vamos criar uma variável $\theta$ e resolva para $a(\theta)$ e $t(\theta)$. Diante dessas considerações, as soluções tem forma

$$a(\theta) = A_1 (1-\cos\theta) \ , \ \ \ t(\theta) = A_2 (\theta-\sin\theta)$$

Encontre as constantes $A_1$ e $A_2$ em função de $\Omega_0$ e $H_0$.

c) Em um universo fechado, ele expande até um determinado raio limite e depois começa a contrair até retornar ao ponto de singularidade. Quantas vezes o universo, em seu limite, fica maior do que atualmente?

d) Em quanto tempo o universo colapsará e se tornará uma singularidade?