Escrito por Felipe Maia
Iniciante
Corrida Terreno-Marciana
Igualando a força gravitacional a força centrípeta
\[\frac{GM_\odot M_\oplus}{a_\oplus^2} = M_\oplus \omega_\oplus^2a_\oplus\]
Resolvendo para a velocidade angular da Terra, \(\omega_\oplus\),
\[\omega_\oplus = \sqrt{\frac{GM_\odot}{a^3_\oplus}}\]
Similarmente, para Marte,
\[\omega_M= \sqrt{\frac{GM_\odot}{a_M^3}}\]
A velocidade angular relativa será justamente a diferença entre esses dois valores,
\[\boxed{\omega_{rel} = \omega_\oplus – \omega M = \sqrt{GM\odot\left(\frac{1}{a_\oplus^3}-\frac{1}{a_M^3}\right)}}\]
Resolvendo numericamente, chegamos em \(\boxed{\omega_{rel} = 1,67\cdot 10^{-7}\text{ rad/s}}\).
Intermediário
Olhando para o céu
a) A linha verde é a eclíptica.
b) 13 constelações: Áries, Touro, Gêmeos, Câncer, Leão, Virgem, Lira, Escorpião, Ophiucus, Sagitário, Capricórnio, Aquário e Peixes.
c) A linha cinza é a linha do equador.
d) 15 constelações: Aquário, Águia, Cão Menor, Baleia, Erídanos, Hydra Fêmea, Leão, Unicórnio, Ophiucus, Órion, Peixes, Serpente, Sextante, Touro e Virgem.
Para os próximos itens, vamos se basear na figura.
A imagem já contei todas as marcações necessárias. Agora, vamos explicar como se deve fazer as devidas marcações em uma carta celeste.
e) Sabemos que o Equador Celeste passa pelos pontos Leste e Oeste. Podemos observar o Cruzeiro do Sul na parte de baixo da carta, sugerindo que o Sul está para baixo, consequentemente, o Norte deve estar acima. Mas temos que nos lembrar que na carta celeste, o Leste e o Oeste são “invertidos”. Pois estamos vendo o Céu “de cima”. Os pontos foram marcados na imagem de apoio.
f) Para achar a latitude, vamos pegar o circulo máximo que contem o Zênite (encontrado a partir do método das cordas) e os pontos cardeais Norte e Sul. A distância entre o Equador e o Zênite é a própria Latitude! Fazendo as medidas, podemos encontrar \(x = 0,0889 R\). Uma vez que as distâncias zenitais não são alteradas na projeção de Aire, podemos fazer uma regra de três. Desse modo,
\[\phi = 90^\circ \cdot \frac{x}{R} = 8^\circ\]
Podemos perceber que o Polo Visível é o Sul (prolongando o cruzeiro 4,5x). Logo, o valor da latitude é \(\phi = 8^\circ S\).
Avançado
Mauí e pupílas dilatadas
Precisamos encontrar a diferença de área da pupila de Mauí. A quantidade de luz que chega aos nossos olhos é proporcional a área da pupila, desse modo, é coerente pensar que,
\[m_{PL} – m_{lim} = -2,5 \log \frac{F_{PL}}{F_{lim}}\]
Usando que \(F_i = P_0/A_i\), temos,
\[m_{PL} – m_{lim} = 2,5\log \dfrac{A_{PL}}{A_{lim}}\]
\[A_{PL} = A_{lim}\cdot 10^{0,4(m_{PL}-m_{lim})}\]
Substituindo os valores, onde \(A_{lim} = \pi D_{lim}^2/4\), obtemos, \(A_{PL} = 7,1\text{ mm}^2\). Usando o mesmo método para a segunda situação,
\[A_{YF} = A_{lim}\cdot10^{0,4(m_{YA}-m_{lim})}\]
Numericamente, \(A_{YF} = 17,8\text{ mm}^2\). Agora, podemos pegar os diâmetros das pupilas. Isolando, \(D\), obtemos, \(D = 2\sqrt\frac{A}{\pi}\). Ou seja, \(D_{PL} = 3,0\text{ mm}\rightarrow R_{PL} = 1,5\text{ mm}\) e \(D_{YA} = 4,8\text{ mm} \rightarrow R_{YA} = 2,4\text{ mm}\). Como vamos assumir a velocidade constante, temos,
\[\boxed{v = \frac{\Delta R}{\Delta t} = \frac{R_{YA} – R_{PL}}{3\text{ s}} = 0,3\text{ mm/s}}\]
Internacional
Cosmologia parcialmente focada
a) O Parâmetro de Densidade é dado por,
\[\Omega = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_c}\]
Isolando \(\varepsilon\) na equação de Friedmann,
\[H^2 = \frac{8\pi G\varepsilon}{3c^2} – \frac{kc^2}{a^2}\]
\[\varepsilon = \frac{3c^2}{8\pi G}\left(H^2+\frac{kc^2}{a^2}\right)\]
Recordando-nos que \(\varepsilon_c\) corresponde a densidade de energia de um universo plano, i.e. \(k=0\), temos,
\[\Omega = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_c} = \frac{H^2+\frac{kc^2}{a^2}}{H^2} = 1+\frac{kc^2}{H^2a^2}\]
Isolando \(H^2\) chegamos ao resultado desejado,
\[\boxed{H^2 = \frac{kc^2/a^2}{\Omega -1}}\]
b) No momento atual, \(a=1\). Desse modo,
\[H_0^2 = \frac{kc^2}{\Omega_0-1}\rightarrow kc^2 = H_0^2(\Omega_0-1)\]
Trabalhando na expressão do item anterior,
\[a^2 = \frac{kc^2}{\Omega-1}\frac{1}{H^2} = \frac{\Omega_0-1}{\Omega-1}\left(\frac{a}{\dot a}\right)^2 H_0^2\]
Como o universo é feito apenas de matéria \(\Omega = \Omega_0 a^{-3}\)
\[\dot a^2 = \frac{\Omega_0-1}{\Omega_0/a^3 – 1}H_0^2\]
Reorganizando a expressão,
\[\dot a^2 = H_0^2\left(\frac{\Omega_0}{a}-(\Omega_0-1)\right)\]
\[\frac{da}{dt} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{a} – (\Omega_0-1)}\]
Em um universo fechado, o mesmo expande até certo ponto e depois começa a contrair. Portanto, é correto afirmar que existe um valor de raio máximo, correspondente a \(a_{max}\rightarrow \left.\frac{da}{dt}\right|{a=a{max}} =0\). Analisando a expressão de \(a\), \(a(\theta) = A_1 (1-\cos\theta)\) podemos perceber que o valor máximo corresponde à \(\theta = \pi\), onde \(a_{max} = a(\pi) = 2A_1\). Igualando a nossa derivada a 0,
\[0 = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{a_{max}} – (\Omega_0-1)}\]
Logo,
\[\frac{\Omega_0}{a_{max}} = \Omega_0-1\rightarrow a_{max} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}\]
Substituindo \(a_{max} = 2A_1\), obtemos,
\[\boxed{A_1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}}\]
Agora, para encontrarmos a constante \(A_2\) vamos utilizar do fato que,
\[\frac{da}{dt} = \frac{da/d\theta}{dt/d\theta}\]
Pelas expressões de \(a\) e \(t\), podemos encontrar,
\[\frac{da}{d\theta} = A_1\sin\theta\]
\[\frac{dt}{d\theta} = A_2(1-\cos\theta)\]
Logo,
\[\frac{da}{dt} = \frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\]
Igualando as expressões de \(da/dt\),
\[\frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-(\Omega_0-1)}\]
Podemos simplificar essa expressão usando que \(A_1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}\), isolando \(\Omega_0-1 = \frac{\Omega_0}{2A_1}\),
\[\frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-\frac{\Omega_0}{2A_1}}\]
Simplificando dentro da raiz,
\[H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-\frac{\Omega_0}{2A_1}} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1}\left(\frac{1}{1-\cos\theta} – \frac{1}{2}\right)}\]
\[ = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{2A_1}\left(\frac{2-(1-\cos\theta)}{1-\cos\theta}\right)} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{2A_1}\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)} \]
Agora, fora da raiz, vamos utilizar a identidade \(\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}\),
\[\frac{A_1}{A_2} \frac{\sqrt{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}}{1-\cos\theta} = \frac{A_1}{A_2}\sqrt\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\]
Ou seja, os termos envolvendo \(\theta\) se cancelam! Igualando as expressões,
\[\frac{A_1}{A_2} = H_0\sqrt\frac{\Omega_0}{2A_1}\]
Resolvendo para \(A_2\),
\[A_2 = \frac{1}{H_0}\sqrt{\frac{2A_1^3}{\Omega_0}}\]
Por fim, substituindo \(A_1\),
\[\boxed{A_2 = \frac{1}{2H_0}\frac{\Omega_0}{(\Omega_0-1)^{3/2}}}\]
Assim, as expressões de \(a(\theta)\) e \(t(\theta)\) são,
\[\boxed{a(\theta)= \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}(1-\cos\theta) \ \ \ ; \ \ \ t(\theta) = \frac{1}{2H_0}\frac{\Omega_0}{(\Omega_0-1)^{3/2}} (\theta-\sin\theta)}\]
c) Como vimos no item anterior, \(a_{max} =2A_1\). Atualmente, temos \(a=1\), então a razão entre o raio máximo e o raio atual, é
\[\boxed{\frac{R_{max}}{R_0}=a_{max} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}}\]
d) O universo se torna uma singularidade quando \(a=0\). Isso ocorre quando \(\theta = 0\) ou \(\theta = 2\pi\). Atualmente, \(a=1\), o ângulo \(\theta_0\) então corresponde a
\[1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}(1-\cos\theta_0) \rightarrow \theta_0 = \cos^{-1}\left(1 – \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right)\]
Isso é certamente \(>0\), assim a solução que queremos é \(\theta = 2\pi\). O tempo restante de vida do universo, é dado então por,
\[\Delta t = t(2\pi) – t(\theta_0)\]
\[\boxed{\Delta t = \frac{\Omega_0}{2H_0(\Omega_0-1)^{3/2}}\left[2\pi – \cos^{-1}\left(1 – \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right) + \sin\left(\cos^{-1}\left(1 – \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right)\right)\right]}\]
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