Astronomia – Semana 124

Escrito por Davi Lucas

Iniciante

Leis de Kepler

Um planeta descreve a órbita elíptica ao redor de uma estrela mostrada na figura. Leva-se um tempo $\Delta t_1 = 30 \, \rm{dias}$ para percorrer o trecho 1 e $\Delta t_2 = 90 \, \rm{dias}$ para percorrer o trecho 2. Logo, qual é a razão entre as áreas do trecho $\frac{A_2}{A_1}$ e em qual dos dois trechos a velocidade orbital média do cometa é maior?

Intermediário

Força Gravitacional

A Lei da Gravitação Universal descreve a força de atração mútua entre dois corpos de massa $m_1$ e $m_2$, cujos centros de massa estão separados por uma distância $r$. A força gravitacional vetorial é dada por:

$$\vec{F} = G\frac{m_1m_2}{r^3} \vec{r}$$

Nesta expressão, $G$ é a constante gravitacional e $r$ é a magnitude do vetor posição $\vec{r}$ (ou seja, $r = |\vec{r}|$), que representa a distância entre as duas massas de raios $R$.

Com base na equação vetorial fornecida, esboçe o gráfico que representa a magnitude da força, $F = |\vec{F}|$, em função da distância $r$ quando r > R

Avançado

A Dieta de uma Estrela: Perda de massa

O exoplaneta “Leinad”, de massa $m$, descreve uma órbita inicialmente estável e circular de raio $r = 2 \cdot 10^{11} m$ ao redor de sua estrela-mãe, “Ahniduamp”, de massa $M$. O período orbital do planeta é de $T = 4 \cdot 10^7 s$ (aproximadamente 1,27 anos terrestres).

Devido a processos internos, a estrela Ahniduamp começou a ejetar massa para o espaço através de ventos estelares intensos. Astrônomos observando o sistema notaram que a órbita de Leinad já não é mais estável. As medições indicam que o raio da órbita do planeta está aumentando a uma taxa constante de $\frac{\Delta r}{\Delta t} = 5 \frac{m}{s}$, e seu período orbital também está aumentando a uma taxa de $\frac{\Delta T}{\Delta t} = 2 \frac{s}{s}$ (ou seja, a cada segundo, o período orbital aumenta em 2 segundos).

Com base nestas observações, calcule a taxa com que a estrela Ahniduamp está perdendo massa ($\frac{\Delta M}{\Delta t}$), em quilogramas por segundo.

Dica

$$\frac{\Delta}{\Delta t}\left(\frac{ r^3}{T^2}\right) = \frac{3r^2}{T^2}\frac{\Delta r}{\Delta t} - \frac{2r^3}{T^3}\frac{\Delta T}{\Delta t}$$

Internacional

Enigma da matéria escura

Um astrônomo investiga o aglomerado de galáxias de Virgem, tratando-o como um sistema esférico e dinamicamente estável. Para estimar a massa total do aglomerado (e assim inferir a quantidade de matéria escura), ele mede o desvio para o vermelho (redshift) de 30 galáxias distintas, focando na linha espectral H-alfa. O comprimento de onda de repouso desta linha, medido em laboratório, é $\lambda_0 = 656.3 \rm{nm}$

Os comprimentos de onda observados para cada galáxia são apresentados na tabela abaixo:

Galáxia	$\lambda_{obs} (nm)$	Galáxia	$\lambda_{obs} (nm)$	Galáxia	$\lambda_{obs} (nm)$
1	659.1	11	660.8	21	659.3
2	658.0	12	657.2	22	658.5
3	661.2	13	661.5	23	661.0
4	659.8	14	658.3	24	657.0
5	660.4	15	659.9	25	662.5
6	657.5	16	660.6	26	659.6
7	662.1	17	658.8	27	660.0
8	658.9	18	661.9	28	658.2
9	660.1	19	657.8	29	661.7
10	659.5	20	660.2	30	659.0

Com base nestes dados e nos itens a seguir, determine a quantidade de matéria escura no aglomerado.

a) Calcule a velocidade radial ($v_r$) de cada galáxia considerando as aproximações não relativísticas.

b) Determine a velocidade radial média ($\bar{v}_r$) do aglomerado e, em seguida, calcule a dispersão de velocidades radiais ($\sigma_r$), que é o desvio padrão da amostra.

c) Assumindo um movimento isotrópico, escreva a expressão para a energia cinética total do aglomerado em função de sua massa total $M$ e da dispersão de velocidades radiais $\sigma_r$.

d) O Teorema do Virial para um sistema estável afirma que $2K + U = 0$, onde a energia potencial gravitacional é $U \approx -\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$. Sendo o raio do aglomerado de Virgem $R \approx 7 \cdot 10^{22} \rm{m}$, use o teorema para derivar uma expressão e calcular a massa total $M$ do aglomerado.

e) A massa luminosa (visível) do aglomerado é estimada em $M_{lum} = 3 \cdot 10^{14} M_{\odot}$, onde a massa do Sol é $M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\rm{kg}$. Qual é a porcentagem de matéria escura no aglomerado de Virgem?