Astronomia – Semana 125

Escrito por Franklin Costa

Iniciante

Selene

Pepe está ansioso para observar a Lua, sua pressa faz com que ele pegue a primeira ocular que encontrar. Ao utilizar essa ocular no seu telescópio $f/9$ de $70\ \text{mm}$ de diâmetro, ele consegue observar apenas $1/3$ da Lua. O que deve acontecer com a distância focal da ocular para que Pepe observe todo o disco lunar?

a) Deve aumentar em $3$ vezes
b) Deve diminuir em $3$ vezes
c) Deve permanecer inalterada, mas o diâmetro terá de ser $210\ \text{mm}$
d) Deve permanecer inalterada, mas a razão focal terá de ser $f/3$

Intermediário

Cubo

Após um truque de mágica mal executado transformar o Sol em um cubo, cientistas confirmaram que a medida do lado do novo Sol é $2$ vezes o valor do raio antigo do Sol e que a temperatura dele não mudou após o falho truque. Sabendo disso, calcule qual a razão entre as luminosidades nova e antiga do Sol.

Avançado

Hipoteticamente

Lente gravitacional é um fenômeno em que a luz de uma fonte distante pode ser desviada pela curvatura do espaço-tempo causada por um objeto massivo (a lente) próximo ou na linha de visão entre um observador e um objeto distante. No caso em que o observador, o objeto de massa da lente e a fonte estão em linha reta, a luz da fonte é desviada por um ângulo (em radianos) dado por:

$$\theta=\frac{4GM}{r_ec^2}$$

onde $G$ é a constante gravitacional, $c$ é a velocidade da luz e $r_e$​ é o raio de Einstein, que é a menor distância entre o objeto em lente e o caminho aparente da luz. Se o Sol fosse um buraco negro, qual seria o valor dessa deflexão?

Observação: Considere, para este cálculo, que o Sol tem o raio mínimo para isso e o raio de luz é tangente ao seu raio.

Internacional

A Ira de Henri Lebesgue

O Dr. Henri Lebesgue está irado. Após deparar-se com mais um gabarito defendendo um modelo simplista de atmosfera isotérmica, sua fúria atingiu níveis divinos. Agora ele ameaça usar seus poderes para reduzir o universo a cinzas. Para evitar o apocalipse, você deve desenvolver um método mais preciso para a atmosfera terrestre.

Considere a Terra como uma esfera cobertas por $N$ cascas esféricas, onde cada camada $i$ possui raio interno $R_i$, raio externo $R_{i+1}$, temperatura $T_i$, densidade $\rho_i$, coeficiente de opacidade $\kappa$ e albedo $0$. Vamos tomar como modelo que a principal maneira de transmissão de calor na atmosfera é por radiação e que a atmosfera é alimentada por duas fontes de energia: uma potência geotérmica $G$ gerada na superfície terrestre por processos internos e uma potência solar $S$ no topo da atmosfera.

a) Calcule as potências geradas na parte superior $A_i$ e na parte inferior $B_i$ de cada camada $i$.

b) Calcule as potências $S_i$ e $G_i$ geradas por $S$ e $G$, respectivamente, que são absorvidas pela camada $i$.

c) Calcule as potências $C_{ij}$ e $D_{ij}$ geradas por uma camada $j$ superior e por uma camada $j$ inferior, respectivamente, que são absorvidas pela camada $i$.

d) Calcule as potências $C_i$ e $D_i$ geradas pelas camadas inferiores e pelas camadas superiores, respectivamente, que são absorvidas pela camada $i$.

e) Escreva a equação para o equilíbrio radiativo da camada $i$.

Tomando o limite para o caso contínuo, ou seja, $N$ tendendo a infinito, pode-se provar que essa equação se torna

$$2r^2T^4(r)=\frac{S}{4\pi\sigma} \cdot e^{-k\int_{r}^{R_a}\rho(R)\, dR}+\frac{G}{4\pi\sigma}\cdot e^{-k\int_{R_T}^{r}\rho(R)\, dR}\qquad +\int_{r}^{R_a}\kappa\rho(u)\cdot u^2\cdot T^4(u)\cdot e^{-k\int_{r}^{u}\rho(R)\, dR}\, du\qquad +\int_{R_T}^{r}\kappa\rho(u)\cdot u^2\cdot T^4(u)\cdot e^{-k\int_{r}^{u}\rho(R)\, dR}\, du$$

onde $R_T$ é o raio da Terra e $R_a$ é o raio da atmosfera.