Escrito por Jailson Neto
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Iniciante
Leis de Kepler (12 Pontos)
As seguintes afirmações são feitas sobre as Leis de Kepler, julgue-as como verdadeiras ou falsas.
I. As Leis de Kepler também podem ser válidas fora do sistema solar.
II. A primeira Lei de Kepler afirma que os planetas descrevem trajetórias elípticas, ao redor do sol, estando o sol no centro da elipse.
III. A Segunda Lei de Kepler é uma consequência direta da lei de conservação do momento angular.
IV. A Segunda Lei de Kepler só é válida para órbitas elípticas e circulares.
V. Como consequência da Segunda Lei de Kepler, a velocidade de um planeta em seu periélio será maior que sua velocidade no afélio.
VI. Para um planeta orbitando uma estrela de massa muito maior, a terceira Lei de Kepler afirma que $$T^2/a^3=k$$ sendo $$k$$ uma constante que depende exclusivamente da massa do planeta, e não da massa da estrela.
Intermediário
Órbita de Marte (18 Pontos)
Marte orbita o sol em uma elipse de excentricidade $$e=0,093$$, se Marte está atualmente no periélio, a uma distância $$d=1,382 \;\rm{UA}$$ do Sol (veja a figura), quanto tempo (contado a partir da passagem pelo periélio) demorará para:
i) A primeira passagem por um ponto de semi-eixo menor (ponto A)
ii) Segunda passagem por um ponto de semi-eixo menor (ponto B)
Avançado
Elipse Degenerada (40 Pontos)
A elipse degenerada é uma das ideias mais interessantes para resolver problemas de cálculos de tempo no contexto da mecânica celeste, a ideia consiste em modelar uma trajetória de queda livre (reta) como uma elipse de excentricidade $$e=1$$, sabendo disso, resolva os seguintes problemas.
Considere, em todas as situações, que o objeto parte do repouso.
Responda em função da massa da terra $$M_T$$, do raio da Terra $$R_T$$, constantes e do parâmetro de distância fornecido no item.
(a) (6 Pontos) Um objeto cai em queda livre em direção à superfície da Terra a partir de uma altura $$h$$ muito menor que o raio da Terra, nesse caso, qual o tempo de queda?
(b) (14 Pontos) Um objeto cai em queda livre em direção à superfície da Terra a partir de uma distância $$r$$ da Terra muito maior que o raio da Terra, nesse caso, qual o tempo de queda?
(c) (20 Pontos) Um objeto cai em queda livre em direção à superfície da Terra a partir de uma distância $$R_T$$ da superfície da terra igual ao raio da Terra, nesse caso, qual o tempo de queda?
Internacional
Equação de Kepler (80 Pontos)
A segunda Lei de Kepler e a ideia da elipse degenerada, apesar de serem importantes para resolver vários problemas envolvendo cálculos de tempo em órbitas, só são viáveis de serem usados em um número limitado de situações. Nessa questão iremos desenvolver um método que serve para calcular qualquer intervalo de tempo em uma órbita apenas com a posição inicial e final do objeto.
Parte A – Descrevendo a posição do objeto
São necessárias apenas duas informações para determinar a posição de um corpo em uma órbita, uma distância e um ângulo. A distância ($$r$$) costuma ser medida em relação ao corpo central (por exemplo, o Sol) já o ângulo utilizado costuma ser a anomalia verdadeira $$\theta$$, que é um ângulo com vértice no corpo central, medido a partir do periastro da órbita.
(a) (10 Pontos) Utilizando a definição geométrica da elipse (A soma das distâncias de cada ponto da elipse aos dois focos é constante), mostre que, para uma elipse de excentricidade $$e$$ e semi-eixo maior $$a$$.
$$r(\theta)=\frac{a(1-e^2)}{1+ecos\theta}$$
A anomalia excêntrica (E) é um outro ângulo que pode ser usado para descrever a localização, ele possui uma definição um pouco mais complexa, primeiramente, deve-se definir traçar um círculo de raio igual ao semi-eixo maior da elipse que tangencia a elipse em dois pontos (periastro e apoastro). A anomalia excêntrica vai ser o ângulo com vértice no centro da elipse medido entre a direção do periastro e a direção da intersecção da reta vertical que passa pelo objeto e pelo corpo central com a circunferência, visualize a imagem para facilitar a compreensão.
(b) (10 Pontos) Utilizando a definição da anomalia excêntrica mostre que
$$r(E)=a(1-ecos(E))$$
Parte B – Derivando a Equação de Kepler
O objetivo da Equação de Kepler é relacionar tempo com posição, dessa forma, foi definido um terceiro ângulo, a anomalia média (M), que é medido a partir da direção do periastro e foi definido de tal forma que cresça linearmente com o tempo e que a cada período orbital retorne ao mesmo valor.
(c) (5 Pontos) Sendo $$\Delta t$$ o tempo desde a última passagem do objeto pelo periastro, obtenha uma expressão para a anomalia média em função do período orbital $$T$$.
Para relacionar o tempo (anomalia média), com a anomalia excêntrica, pode-se relacionar a anomalia excêntrica com a área varrida pelo vetor posição e, em seguida, aplicar a segunda Lei de Kepler. No entanto, obter a área varrida para uma posição arbitrária não é uma tarefa tão simples. Para isso, a seguinte propriedade da configuração geométrica entre a elipse e a circunferência será bastante útil.
(d) (18 Pontos) Sendo $$A_1$$ a área do setor elíptico (área em azul) e $$A_2$$ a área do setor circular (área em azul + área em preto), mostre que
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{b}{a}$$
Sendo $$b$$ o semi-eixo menor e $$a$$ o semi-eixo maior
Dicas:
Equação cartesiana da elipse
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
$$\int(1-\frac{x^2}{a^2})dx=\frac{a}{2}arcsin(\frac{x}{a})+\frac{x}{2}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}+C$$
(e) (10 Pontos) Finalmente, demonstre a equação de kepler
$$M=E-esin(E)$$
Parte C – Aplicando na prática
Vamos agora aplicar os resultados obtidos às seguintes situações
(f) (15 Pontos) Calcule o tempo de queda livre de um objeto que parte do repouso a uma distância inicial $$r=3R_T$$ da superfície da terra (Dados: $$M_T=5,98\times10^{24}\;\rm{kg}$$, $$R_T=6,38\times10^6{m}$$)
Perceba que o cálculo do intervalo de tempo dado a posição final e inicial é mais simples do que o processo contrário (cálculo da posição dado o intervalo de tempo) pois a equação de Kepler não possui solução analítica para $$E$$, sendo necessário recorrer a métodos númericos. Isso pode ser facilmente feito com uma calculadora científica com o seguinte passo a passo.
Para fins de cálculo, suponhamos que $$M=2\;\rm{rad}$$ e $$e=0,5$$, nosso objetivo é descobrir $$E$$
I. Isolar $$E$$ da expressão de tal forma que fique em função dele mesmo $$E=M+esin(E)$$
II. Chutar um valor para $$E$$ que seja próximo ao real, para fins de estimativa, o chute inicial pode ser o próprio valor de $$M$$, pois eles costumam ser próximos
III. Substituir na calculadora a estimativa inicial $$M+esen(E)=2+0,5sen(2\;\rm{rad})=2,4546\;\rm{rad}$$
Lembrando que valores de ângulos isolados devem estar em radianos, enquanto ângulos dentro de uma função trigonométrica podem estar tanto em radianos quanto em graus a depender de como a calculadora está configurada, normalmente as calculadoras estão configuradas para graus, mas isso pode ser alterado conforme sua preferência.
IV. A resposta obtida $$(2,45 \;\rm{rad})$$ está mais próxima da resposta real do que a estimativa inicial $$(2 \;\rm{rad})$$, para obter a resposta precisa, deve-se trocar o valor de $$E$$ na expressão da calculadora pelo $$Ans$$, que é a resposta obtida anteriormente, assim, a cada estimativa o valor estará mais próximo. Apertando repetidamente o botão de executar, espera-se que o número obtido na calculadora esteja convergindo para um determinado valor, esse valor será a anomalia excêntrica. Neste exemplo, obteve-se $$E=2,35\;\rm{rad}$$
(g) (12 Pontos) Calcule a que distância e anomalia verdadeira Marte estará do Sol 1 ano terrestre após sua passagem pelo periélio. (Dados: $$a_M=1,524\;\rm{UA}, e = 0,093$$).
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