Escrito por Alexandre Monte
Iniciante
Quantos Anos? (10 pontos)
O cientista maluco H-ET-or, no ano de 2100, criou uma máquina do tempo porque queria ir 6700 anos no passado (ele é viciado nesse número), para construir as pirâmides no México e no Egito para dizer que ele era uma alienígena. Porém, ele acabou no sul da Argentina em algum ponto do futuro, com apenas o seguinte mapa da precessão, que é o movimento circular do eixo de rotação da Terra.
Intermediário
A estaca de Davidson (20 pontos)
Avançado
Anõezinhos de Jardim (40 pontos)
Um astrônomo anão, chamado Sidoritozinho, opera um telescópio gigante (comparado a ele), pertencente à FAAAH (Federação dos Anões Astrônomos Amigos da Humanidade). O observatório tem um design exótico: é um cone invertido perfeitamente simétrico com volume total $$V = 10\text{ m}^3$$. O telescópio está posicionado da seguinte forma:
A abertura circular no topo (com seu centro apontado para o zênite) tem um diâmetro $$D$$ exatamente igual ao diâmetro da objetiva do telescópio. A atmosfera local é saturada de poluentes industriais, apresentando uma profundidade óptica zenital extrema de $$\tau_z = 1,20$$, e, por algum motivo estranho e esquisito dos poluentes, a atmosfera pode ser considerada plana em toda sua extensão. O astrônomo deseja observar a estrela Sirius ($$\alpha = 06^h45^m, \delta = -16^\circ43’$$) através desta abertura. Considere a Magnitude aparente intrínseca de Sirius: $$m_0 = -1,46$$.
a) (10 pontos) Determine o diâmetro máximo $$D$$ (em metros) do telescópio para que Sirius seja visível durante toda sua trajetória pelo campo de visão do telescópio (com o limite de visibilidade correspondendo à borda do observatório). Em seguida, calcule a magnitude limite $$m_{lim}$$ do equipamento e determine o intervalo de latitudes $$\phi$$ no qual é possível observar Sirius cruzando a referida abertura. \textbf{Use, se necessário: $$\sec(\arctan(x)) = \sqrt{1+x^2}$$}
b) (10 pontos) Suponha que Sirius permaneça visível dentro do campo de visão por exatamente 11 horas e 40 minutos. No momento exato da sua culminação superior, os relógios da FAAAH indicam um Tempo Sideral de Greenwich ($GST$) de $10^h 15^m$. Determine as duas possíveis coordenadas geográficas $(\phi, \lambda)$ da localização do astrônomo anão. Calcule também a variação total de azimute ($\Delta Az$) de Sirius desde sua entrada até sua saída do campo de visão na possibilidade mais ao sul e a porcentagem da área total do hemisfério celeste visível através deste telescópio.
c) (20 pontos) Sidoritozinho celebra o “Ano Novo de Tchê Tchê” (divindade ligada ao número 67) no dia do nascer helíaco de Sirius. Considere que este evento ocorre quando o Sol está a uma altura de $-12^\circ$ (crepúsculo náutico) no exato momento em que Sirius cruza a borda Leste da abertura do telescópio. Determine a data do ano em que isso ocorre considerando que a Terra tem uma órbita circular ao redor do Sol.
Internacional
Cilindroverso Viscoso (80 pontos)
Considere um modelo de Universo plano com simetria cilíndrica infinita. Neste modelo, a expansão ocorre exclusivamente na direção radial $r$, de modo que o comprimento $L$ do cilindro é uma constante invariante. O raio físico de uma seção comóvel é dado por $R(t) = R_0 a(t)$, onde $a(t)$ é o fator de escala. Para a regularização dimensional de potenciais logarítmicos, assuma um raio de referência unitário $R_* = 1$, de modo que $\ln(R/R_*) = \ln(R)$.
O conteúdo deste Universo é preenchido por um fluido não-ideal com características fenomenológicas únicas. Assuma o seguinte axioma para este universo: apesar da presença de atrito interno espacial (viscosidade de volume $\eta$), a densidade linear de massa gravitacional efetiva do cilindro permanece constante ao longo da expansão bidimensional, garantindo uma métrica conservativa de fundo. Sabe-se que a densidade de energia $\varepsilon$ e a pressão $P$ deste fluido evoluem acopladas à dinâmica do espaço de tal forma que a fonte gravitacional efetiva da Lei de Gauss satisfaz a relação de estado:
$$\varepsilon + 2P = \frac{c^2}{2\pi G} \left( \beta^2 a + \eta \dot{a} \right)$$
Onde $\beta$ e $\eta$ são constantes positivas próprias deste Universo. No instante $t=0$ (Big Bang), o Universo possui fator de escala $a(0) = 0$ e uma taxa de expansão inicial $\dot{a}(0) = \dot{a}_i$.
(a) (10 pontos) Determine a equação da aceleração (que é uma razão entre $\ddot{a}$ e ${a}$) e a primeira lei de Friedmann (que é uma razão entre $\dot{a}$ e ${a}$) para uma partícula teste na borda do cilindro a partir da Lei de Gauss, em função de $\rho_{eff}$ (a densidade do cilíndro).
(b) (10 pontos) Escreva a densidade efetiva em função da densidade de energia e da pressão exercida pelo fluido.
(c) (10 pontos) Obtenha a equação diferencial de segunda ordem que rege a evolução do fator de escala $a(t)$, relacionando suas derivadas, $\beta$ e $\eta$.
(d) (20 pontos) Determine a expressão analítica de $a(t)$ para o caso específico onde as constantes do fluido satisfazem a condição $\eta = 2\beta$, em função de $\beta$ e $\dot{a}_0$.
(e) (20 pontos) Determine a expressão da energia dissipada por unidade de massa (de uma partícula de teste) desde o Big Bang até um instante $t$ qualquer, em função de $\beta$.
(f) (10 pontos) Determine o valor do fator de escala máximo $a_{max}$ atingido por este Universo e o tempo necessário para que a expansão cesse completamente, em função de $\dot{a}_0$ e $\beta$.
Dica: Use que
$$\int_{0}^{x} \frac{dx’}{k^2 – x’^2} = \frac{1}{\sqrt{k} }\text{arctanh}\left(\frac{x}{\sqrt{k}}\right)$$
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