Solução- Astronomia 130

Escrito por Gustavo Sobreira Barroso

Iniciante

Gustaris

A partir do gráfico, é possível perceber que a magnitude máxima de Gustaris é $m_{Máx}=3.5$ e a magnitude mínima é $m_{Mín}=4.3$. Desta forma, a magnitude aparente média é $m_{V}=\frac{(3.5+4.3)}{2}=3.9$. Além disso, dois picos consecutivos ocorrem a cada 6 dias pelo gráfico. Disso, a magnitude absoluta de Gustaris, dada pela pela relação período-luminosidade, é:

$M_{V}=-2.43(\log (P)- 1) – 4.05$

$M_{V}=-2.43(\log (6)- 1) – 4.05=-3.51$

Conhecidas as magnitudes aparente e absoluta de Gustaris, sua distância à Terra é dada por:

$m_{V}-M_{V}=5\log (d)-5$

$3.9-(-3.51)=5\log (d)-5 \longrightarrow \log (d)= 2.48$

$d=10^{2.48} \approx 303.5 pc$

Intermediário

Binárias eclipsantes

a) O mínimo primário em uma binário eclipsante ocorre no momento em que a estrela de maior raio cobre a que possui menor tamanho, correspondendo a diferença de magnitude da estrela maior com a magnitude combinada das duas estrelas. Assim:

$\Delta m_{prim\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{F_2}{F_{total}}$

Como as estrelas estão uma mesma distância da Terra, então:

$\Delta m_{prim\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{L_2}{L_{1}+L_{2}}$

Da Lei de Stephan-Boltzmann, temos:

$\Delta m_{prim\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{4 \pi \sigma R_{2}^{2} T_{2}^{4}}{4 \pi \sigma R_{1}^{2} T_{1}^{4}+4 \pi \sigma R_{2}^{2} T_{2}^{4}}$

Simplificando:

$\Delta m_{prim\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {R_{1}^{2} T_{1}^{4}+R_{2}^{2} T_{2}^{4}}$

Do enunciado, temos $\Delta m_{prim\acute{a}rio}=2.0$. Então:

$\Delta m_{prim\acute{a}rio}=2.0=-2.5 \log \frac{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {R_{1}^{2} T_{1}^{4}+R_{2}^{2} T_{2}^{4}}$

$-0.8= \log \frac{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {R_{1}^{2} T_{1}^{4}+R_{2}^{2} T_{2}^{4}} \longrightarrow \frac{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {R_{1}^{2} T_{1}^{4}+R_{2}^{2} T_{2}^{4}} =10^{-0.8}=0.16 $

Assim, temos:

0.16( R_{1}^{2} T_{1}^{4} + R_{2}^{2} T_{2}^{4})=R_{2}^{2} T_{2}^{4} \longrightarrow 0.16R_{1}^{2} T_{1}^{4}=0.84R_{2}^{2} T_{2}^{4} \longrightarrow R_{1}^{2} T_{1}^{4}=5.3R_{2}^{2} T_{2}^{4} \textit{ (eq.I)}

A variação máxima que pode ocorrer durante o mínimo secundário ocorre quando ambas as estrelas possuem o mesmo raio e cobrem totalmente uma a outra durante os eclipses. Usando o resultado da $\textit{ (eq.I)}$, teremos:

$\Delta m_{secund\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{ 5.3R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {5.3R_{2}^{2} T_{2}^{4}+R_{2}^{2} T_{2}^{4}}$

$\Delta m_{secund\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{5.3R_{2}^{2} T_{2}^{4}} {6.3R_{2}^{2} T_{2}^{4}}$

$\Delta m_{secund\acute{a}rio}=-2.5 \log \frac{5.3} {6.3}=0.19$

b) A razão do brilho das duas estrelas é dada por:

Do item anterior, temos $R_{1}^{2} T_{1}^{4}=5.3R_{2}^{2} T_{2}^{4} \textit{ (eq.I)}$ Então:

\frac{F_1}{F_2}=\frac{ R_{1}^{2} T_{1}^{4}}{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}}=\frac{ 5,3R_{2}^{2} T_{2}^{4}}{ R_{2}^{2} T_{2}^{4}}=5.3

Avançado

Um mundo ideal

a) A potência absorvida pelo planeta corresponde a quantidade de energia estelar absorvida pelo disco planetário. Assim:

P_{abs} = F_{*} \pi R_{p}^2(1-A) = \frac{L_{*}}{4a^2}R_{p}^2(1-A)

Por sua vez, a potência emitida é dada pelo planeta é dada por:

P_{Emit.}=4\pi R_{p}^{2} \sigma T_{p}^{4}

No equilíbrio térmico, a potência absorvida pelo planeta, tem que ser igual a potência emitida. A potência absorvida é dada por:

$P_{abs}=P_{Emit.}$

\frac{L_{*}}{4a^2}R_{p}^2(1-A)=4\pi R_{p}^{2} \sigma T_{p}^{4}

Simplicando:

T_{p}^{4}=\frac{L_{*}}{16 \pi \sigma a^2}(1-A)

Da Lei de Stephan-Boltzmann, $L_{*}=4 \pi R_{*}^{2} \sigma T_{*}^{4}$. Assim:

T_{p}^{4}=\frac{4 \pi R_{*}^{2} \sigma T_{*}^{4}}{16 \pi \sigma a^2}(1-A)

T_{p}^{4}=\frac{R_{*}^{2} T_{*}^{4}}{4 a^2}(1-A)

Por fim, obtemos:

$T_{p} = T_{*} \left(\frac{1-A}{4}\right)^{1/4}\sqrt{\frac{R_{*}}{a}}$

b) Do item anterior, temos que a temperatura em um planeta é dada por:

T_{p}=(\frac{L_{*}}{16 \pi \sigma a_{ZH}^2}(1-A))^{\frac{1}{4}}

Pela definição de Zona Habitável, temos:

273 \textit{ K} \leq T_{p} \leq 373 \textit{ K}

273 \textit{ K} \leq(\frac{L_{*}}{16 \pi \sigma a_{ZH}^2}(1-A))^{\frac{1}{4}} \leq 373 \textit{ K}

(273 \textit{ K})^{4} \leq(\frac{L_{*}}{16 \pi \sigma a_{ZH}^2}(1-A)) \leq (373 \textit{ K})^{4}

Multiplicando a desigualdade por $\frac{16 \pi \sigma}{(1-A)L_{*}}$, temos:

\frac{16 \pi \sigma}{(1-A)L_{*}}(273 \textit{ K})^{4} \leq(\frac{1}{ a_{ZH}^2}) \leq \frac{16 \pi \sigma}{(1-A)L_{*}}(373 \textit{ K})^{4}

Elevando a desigualdade a -1, obtemos:

[\frac{16 \pi \sigma}{(1-A)L_{*}}(273 \textit{ K})^{4}]^{-1} \leq(\frac{1}{ a_{ZH}^2})^{-1} \leq [\frac{16 \pi \sigma}{(1-A)L_{*}}(373 \textit{ K})^{4}]^{-1}

\frac{1}{(373 \textit{ K})^{4}}\frac{(1-A)L_{*}}{16 \pi \sigma} \leq a_{ZH}^{2} \leq \frac{1}{(273 \textit{ K})^{4}}\frac{(1-A)L_{*}}{16 \pi \sigma}

Simplificando

\frac{1}{(373 \textit{ K})^{2}}\sqrt{\frac{(1-A)}{16 \pi \sigma}} \sqrt{L_{*}} \leq a_{ZH} \leq \frac{1}{(273 \textit{ K})^{2}}\sqrt{\frac{(1-A)}{16 \pi \sigma}} \sqrt{L_{*}}

Desta forma, provamos que os limites da Zona Habitável são tais que $a_{ZH}\propto \sqrt{L_{*}}$.

c) Utilizando os parâmetros físicos de TRAPPIST-1, temos que:

\frac{1}{(373 \textit{ K})^{2}}\sqrt{\frac{(1-0.7)}{16 \pi \sigma}} \sqrt{4 \pi R_{*}^{2} \sigma T_{*}^{4}} \leq a_{ZH} \leq \frac{1}{(273 \textit{ K})^{2}}\sqrt{\frac{(1-A)}{16 \pi \sigma}} \sqrt{4 \pi R_{*}^{2} \sigma T_{*}^{4}}

Simplificando, temos:

((\frac{T_{*}}{373 \textit{ K}})^{2}\sqrt{\frac{(1-A)}{4}})R_{*} \leq a_{ZH} \leq ((\frac{T_{*}}{273 \textit{ K}})^{2}\sqrt{\frac{(1-A)}{4}})R_{*}

Substituindo:

((\frac{3042 \textit{ K}}{(373 \textit{ K})})^{2}\sqrt{\frac{(1-0.3)}{4}})0.54R_{\odot} \leq a_{ZH} \leq ((\frac{3042 \textit{ K}}{273 \textit{ K}})^{2}\sqrt{\frac{(1-0.3)}{4}})0.54R_{\odot}

15.0 R_{\odot} \leq a_{ZH} \leq 51.9R_{\odot}

Convertendo para UA, sabendo que $1 \textit{ UA}= 1.496 \cdot 10^{11} \textit{ m}$ e que $1 R_{\odot}=6.96 \cdot 10^{8} \textit { m}$, então:

0.0699 \textit{ UA} \leq a_{ZH} \leq 0.2416 \textit{ UA}

d) A partir do resultado obtido no item c, é possível classificar todos os planetas de TRAPPIST-1 como não habitáveis, pois os seus raios orbitais são todos menores que $ 0.0699 \textit{ UA}$.

Internacional

Aglomerado de Zod

a) A magnitude absoluta do Aglomerado, neste caso é:

$M_{V}-M_{Sol}=-2.5 \log \frac{N L_{\odot}}{L_{\odot}}$

$M_{V}-M_{Sol}=-2.5 \log (N)$

Do enunciado, $M_{Sol}=4.83$ e $N=5 \cdot 10^{5}$ estrelas. Desta forma:

$M_{V}-4.83=-2.5 \log (5 \cdot 10^{5}) \longrightarrow M_{V}=-9.42$

Aplicando o módulo de distância e considerando efeitos de extinção:

$m_{V}-M_{V}=5\log (d) – 5 + a_{V}d$

$10.8-(-9.42)=5\log (d) – 5 + (10^{-6})d \longrightarrow d=10^{5.04 – (2 \cdot 10^{-7})d}$

Por iteração, encontra-se a seguinte resposta:

$d=1.04 \cdot 10^5 \textit{ pc}$

b) Convertendo a distância da Terra ao aglomerado, obtida no item a, para anos-luz sabendo que 1 pc= 3.26 anos-luz, temos:

$d=1.04 \cdot 10^5 \textit{ pc}=3.26 \cdot (1.04 \cdot 10^5)=3.41 \cdot 10^{5} \textit{ anos-luz}$

Pela definição de luz, distância percorrida pela luz em um ano, a mensagem demorará cerca de 340 mil anos para chegar aos seus aliados.

c) Para uma estrela localizada a um raio s de Zod, o fluxo de energia estelar recebida por ele é:

$F_{*}=\frac{L_{\odot}}{4 \pi s^{2}}$

Além disso, a contribuição de fluxo de uma camada infinitesimal ds do aglomerado é dada por:

$dV=V(s + ds)- V(s)=\frac{4 \pi (s+ds)^{3}}{3}-\frac{4 \pi s^{3}}{3}$

Expandindo, temos:

$dV=V(s + ds)- V(s)=\frac{4 \pi }{3}((s+ds)^{3}-s^{3})$

$dV=V(s + ds)- V(s)=\frac{4 \pi }{3}((s+ds)-s)((s+ds)^{2}+s(s+ds) +s^{2})$

$dV=V(s + ds)- V(s)=\frac{4 \pi }{3}((s+ds)-s)(3s^{2} +3sds +(ds^{2}) )$

Para variações muito pequenas, temos $s^{2}$ muito maior que $sds$ e $ds^{2}$. Desta forma:

$dV=4 \pi s^{2} ds$

Seja $\rho$ a densidade volumétrica de estrelas no aglomerado, temos que:

$\rho=\frac{N}{V}=\frac{N}{\frac{4 \pi R^{3}}{3}}=\frac{3N}{4 \pi R^{3}}$

O fluxo observado em cada ponto do aglomerado é dado por:

$dF_{aglomerado}=F_{*}\rho dV$

Desta forma, temos:

$dF_{aglomerado}=\frac{L_{\odot}}{4 \pi s^{2}} \rho 4 \pi s^{2} ds$

$dF_{aglomerado}=L_{\odot}\rho ds$

Integrando do começo até o fim do aglomerado, temos:

$ \int_{0}^{F_{\rm aglomerado}} dF_{\rm aglomerado} = \int_{0}^{R} L_{\odot}\,\rho\, ds $

$F_{aglomerado}=\rho L_{\odot} R$

$F_{aglomerado}=\frac{3N}{4 \pi R^{3}} L_{\odot} R=\frac{3NL_{\odot}}{4 \pi R^{2}} $

Substituindo os valores, dados, temos:

$F_{aglomerado}=5.34 \cdot 10^{-5} \frac{W}{m^{2}}$

d) No caso do item d, uma estrela localizada a um raio s de Zod gera seguinte o fluxo de energia estelar incidente:

$F_{*}=\frac{L_{\odot} \cdot e^{as}}{4 \pi s^{2}}$

Análogo ao item anterior, o fluxo observado em cada ponto do aglomerado é dado por:

$dF_{aglomerado+nuvem}=F_{*}\rho dV$

Desta forma, temos:

$dF_{aglomerado+nuvem}=\frac{L_{\odot} \cdot e^{-as}}{4 \pi s^{2}} \rho 4 \pi s^{2} ds$

$F_{\rm aglomerado+nuvem} = \int_0^R \rho L_{\odot} e^{-\alpha s}\, ds=\rho L_{\odot}
\int_0^R e^{-\alpha s}\, ds$

$F_{\rm aglomerado} = \frac{\rho L_{\odot}}{\alpha} \left(1-e^{-\alpha R}\right)$

$F_{\rm aglomerado+nuvem} = \frac{3N L_{\odot}}{4 \pi \alpha R^{3} } \left(1-e^{-\alpha R}\right)$

Substituindo os valores dados:

$F_{\rm aglomerado+nuvem} =1.69 \cdot 10^{-5} \frac {W}{m^{2}}$

e) Na Terra, o fluxo de radiação solar é $F_{\odot}=1 361 \frac{W}{m^{2}}$. Comparando com os casos anteriores, temos:

$\frac{F_{\rm aglomerado+nuvem}}{F_{\odot}} = \frac{1.69 \times 10^{-5}\,\mathrm{W\,m^{-2}}} {1361\,\mathrm{W\,m^{-2}}} = 1.24 \times 10^{-8}$

$\frac{F_{\rm aglomerado}}{F_{\odot}}
=
\frac{5.34 \times 10^{-5}\,\mathrm{W\,m^{-2}}}
{1361\,\mathrm{W\,m^{-2}}}
=
3.92 \times 10^{-8}$

Feitas as comparações, é possível concluir que a nuvem realmente deixa Zod mais fraco ante um aglomerado sem nuvem, deixando-o com cerca de 32% do poder obtido em um cenário sem aglomerado. Contudo, devido à grande distância entre as estrelas, o fluxo estelar recebido é baixo e, em ambos os cenários, Zod recebe menos poderes do que o momento em que esteve na Terra.