Iniciante
Leis de Kepler (12 pontos)
I. Verdadeiro, as Leis de Kepler também são válidas fora do sistema solar, é tanto que elas são utilizadas para fazer estudos cientifícos de outros sistemas, permitindo várias descobertas como a detecção de exoplanetas.
II. Falso, o Sol não está no centro da elipse, mas sim em um dos seus focos.
III. Verdadeiro, a taxa de variação da área varrida pelo tempo pode ser escrita como $$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{L}{2m}$$, sendo L o momento angular do objeto. Ou seja, se o momento angular se conserva, o corpo varre áreas iguais em tempos iguais, que é a segunda Lei de Kepler!
IV. Falso, para que a segunda Lei de Kepler seja válida, basta que o momento angular seja conservado, o que também ocorre para órbitas parabólicas e hiperbólicas, ou para qualquer trajetória gerada exclusivamente por uma força central (por exemplo, a força gravitacional).
V. Verdadeiro, a área varrida por um planeta em sua trajetória aumenta com a distância até a estrela e com a distância percorrida pelo planeta. Ou seja, para que a área varrida seja sempre a mesma em um dado intervalo de tempo, é necessário que a distância percorrida ao longo da elipse seja maior quando o planeta estiver mais próximo e menor quando o planeta estiver mais distante. Portanto, a velocidade diminui com a distância até a estrela, estando a afirmação verdadeira.
Critérios de correção
+2 pontos para cada afirmação corretamente julgada.
Intermediário
Órbita de Marte (18 pontos)
Utilizando a segunda lei de Kepler
$$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{A}{T}$$
Onde $$\Delta A$$ é a área varrida, $$A=\pi ab$$ é a área total da elipse e $$T$$ é o período orbital. Para determinamos o tempo $$\Delta t$$, devemos calcular a área varrida $$\Delta A$$ para cada caso.
i) Primeira passagem por um ponto de semi-eixo menor (Ponto A)
Nesse caso, o $$\Delta A$$ será a área hachurada em preto, que pode ser obtida subtraindo a área do quarto de elipse $$\frac{\pi ab}{4}$$ da área do triângulo ACF $$\frac{bc}{2}$$
$$\Delta A = \frac{\pi ab}{4}-\frac{bc}{2}$$
$$\Delta t=\frac{\Delta A}{A}T=(\frac{1}{4}-\frac{e}{2\pi})T$$
O período pode ser calculado com a terceira lei de kepler
$$T^2=a^3\rightarrow T=a^{3/2}$$
Mas antes disso, deve-se calcular o semi-eixo maior
$$a(1-e)=d \rightarrow a=\frac{d}{1-e}=1,524 \;\rm{UA}$$
$$T=1,88\;\rm{anos}$$
Portanto
$$\boxed{\Delta t =0,44\;\rm{anos}}$$
ii) Segunda passagem por um ponto de semi-eixo menor (Ponto B)
Agora, o $$\Delta A$$ será 3/4 da área da elipse mais a área do triângulo BCF
$$\Delta A=\frac{3\pi ab}{4}+\frac{bc}{2}$$
$$\Delta t =(\frac{3}{4}+\frac{e}{2\pi})T$$
$$\boxed{\Delta t = 1,44\;\rm{anos}}$$
Critérios de correção
Cálculo do semi-eixo maior: +1 pontos
Cálculo do período orbital: +1 ponto
Identificação do uso da segunda Lei de Kepler: +3 pontos
Área total da elipse = $$\pi a b$$: +1 ponto
Cálculo da área varrida para a primeira situação: +4 pontos
Cálculo da área varrida para a segunda situação: +4 pontos
Aplicação correta da segunda Lei de Kepler para a primeira situação: +1 ponto
Aplicação correta da segunda Lei de Kepler para a segunda situação: +1 ponto
Valor correto para a primeira situação: +1 ponto
Valor correto para a segunda situação: +1 ponto
Avançado
Elipse Degenerada (40 Pontos)
a) Como a altura de queda $$h$$ é muito menor que o raio da Terra, é válido adotar a aproximação de que a aceleração gravitacional é constante e igual à aceleração na superfície $$g=\frac{GM_T}{R_T^2}$$
Utilizando a equação de cinemática clássica
$$h=\frac{gt^2}{2}\rightarrow t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
$$\boxed{t=R_T\sqrt{\frac{2h}{GM_T}}}$$
b) A elipse degenerada pode ser esquematizada da seguinte maneira
O objeto parte do repouso do ponto A, que seria o afélio da elipse degenerada, e atinge a superfície da terra em um ponto relativamente próximo ao que seria o periélio (pode-se adotar essa aproximação pois a distância r é muito maior que o raio da Terra. Portanto $$\Delta t = \frac{T}{2}$$
Mas para determinar $$T$$, deve-se descobrir quem é o semi-eixo maior $$a$$, pela figura, tem-se que $$2a=r$$, portanto $$a=\frac{r}{2}$$.
Pela terceira Lei de Kepler
$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM_T}\rightarrow T=2\pi\sqrt{\frac{GM_T}{a^3}}$$
$$\boxed{\Delta t = \pi \sqrt{\frac{8GM_T}{r^3}}}$$
c) Agora, como a distância inicial é comparável ao raio da Terra, não é mais válido adotar as aproximações usadas anteriormente 
.
Pela figura, $$2a=2R_T\rightarrow a=R_T$$, ou seja, quando o objeto colidir com a superfície da Terra, ele estará a uma distância $$R_T=a$$ do centro da terra, que corresponde ao foco da elipse degenerada. Isso ocorre quando o objeto está no semi-eixo menor da elipse, o que deixa o problema mais simples de resolver, devido à simetria encontrada.
Aplicando a segunda Lei de Kepler, a área varrida será dada por
$$\Delta A =\frac{\pi ab}{4}+\frac{bc}{2}$$
$$t=\frac{\Delta A}{\pi ab}T=(\frac{1}{4}+\frac{c}{2\pi a})T$$
Como a elipse é degenerada, $$e=1\rightarrow c=a$$
Utilizando a terceira Lei de Kepler $$T=2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$
$$\boxed{\Delta t=\left(\frac{\pi}{2}+1\right)\sqrt{\frac{R_T^3}{GM_T}}}$$
Critérios de correção
a)
Entender que a situação pode ser modelada com aceleração gravitacional constante: +3 pontos.
$$g=\frac{GM}{R^2}$$: +1 ponto
Identificação de equação da cinemática clássica (MRUV): +1 ponto
Expressão final correta: +1 Ponto
b)
Entender que a elipse degenerada possui semi-eixo maior $$a=r/2$$: +3 pontos
Entender que o tempo de queda é aproximadamente metade do período: +8 pontos
Aplicação da Terceira Lei de Kepler: +1 ponto
Resposta final correta: +2 pontos
c)
Entender que a elipse degenerada possui semi-eixo maior $$a=R_T$$: +3 pontos
Identificar que o corpo atinge a superfície da terra no ponto de semi-eixo menor: +8 pontos
Cálculo da área varrida: +6 pontos
Aplicação da Terceira Lei de Kepler para encontrar o período: +1 ponto
Expressão final correta: +2 pontos
Internacional
a) A soma das distâncias de cada ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a $$2a$$
Aplicando uma lei dos cossenos no triângulo $$PF_1F_2$$
$$(2a-r)^2=(2ea)^2+r^2-2(r)(2ea)cos(180-\theta)$$
$$4a^2-4ar+r^2=4e^2a^2+r^2+4earcos\theta$$
$$a^2-ar=e^2a^2+earcos\theta$$
$$\boxed{r=\frac{a(1-e^2)}{1+ecos\theta}}$$
b) Pela figura fornecida, podemos escrever
$$a\cos(E)=r\cos(\theta)+ae$$
$$a\sin(E)=r\sin(\theta)\frac{a}{b}$$
Onde o fator $$\frac{a}{b}$$ vem do fato das coordenadas y da elipse serem iguais às coordenadas y do círculo, mas multiplicadas por um fator de $$b/a$$, isolando os termos em $$\theta$$
$$r\cos(\theta)=a(\cos(E)-e)$$
$$rsin(\theta)=a\sqrt{1-e^2}\sin(E)$$
Assim:
$$r^2=a^2(cos(E)-e)^2+a^2(1-e^2)\sin^2(E)$$
Utilizando que $$\cos^2(E)+\sin^2(E)=1$$
$$r^2=a^2(1-2e\cos(E)+e^2\cos^2(E))$$
$$r^2=a^2(1-e\cos(E))^2$$
$$\boxed{r=a(1-e\cos(E))}$$
c) Aplicando as condições estabelecidas no enunciado
i) A anomalia média cresce linearmente com o tempo
$$M=k \Delta t$$
ii) Após um período orbital, ela retorna ao mesmo valor
$$M+2\pi =k(\Delta t + T)$$
Subtraindo as equações
$$2\pi = kT \rightarrow k=\frac{2\pi}{T}$$
$$\boxed{M=\frac{2\pi}{T}\Delta t}$$
d) Para calcular a área $$A_2$$, deve-se subtrair a área do setor circular de ângulo $$E$$ da área do triângulo.
$$A_2=\frac{Ea^2}{2}-\frac{a^2\cos(E)\sin(E)}{2}$$
Já a área $$A_1$$, por sua vez, pode ser obtida integrando a equação da elipse
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\rightarrow y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}$$
$$A_1=\int_{a\cos(E)}^ab\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx$$
Avaliando o limite superior da integral
$$\frac{a}{2}\arcsin{\frac{a}{a}}+\frac{a}{2}\sqrt{1-\frac{a^2}{a^2}}=\frac{\pi a}{4}$$
Avaliando o limite inferior
$$\frac{a}{2}\arcsin(\cos(E))+\frac{a\cos(E)}{2}\sqrt{1-\cos^2(E)}$$
Subtraindo os limites…
$$\frac{a}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin(\cos(E))-\cos(E)\sin(E)\right)$$
Utilizando a propriedade trigonométrica $$\frac{\pi}{2}-\arcsin(\cos(E))=\arccos(\cos(E))=E$$
Assim
$$A_1=\frac{Eab}{2}-\frac{ab\cos(E)\sin(E)}{2}$$
Portanto
$$\boxed{\frac{A_1}{A_2}=\frac{b}{a}}$$
(e) A área varrida na elipse em função da anomalia excêntrica é dada por
$$A=A_1+ A_3$$
Onde a área $$A_1$$ é a área do setor elíptico deduzida no item anterior
$$A_1=\frac{ab}{2}\left(E-\sin(E)\cos(E)\right)$$
E $$A_3$$ é a área do triângulo formado pela estrela, pelo planeta, e pelo ponto T
$$A_3=\frac{1}{2}(r\cos(\theta))(r\sin(\theta))$$
$$A_3=\frac{ab}{2}(\cos(E)-e)(\sin(E))$$
De acordo com a Segunda Lei de Kepler
$$A=\pi ab\frac{\Delta t}{T}$$
Utilizando a definição de anomalia média $$M=\frac{2 \pi}{T}\Delta t\rightarrow A=\frac{Mab}{2}$$
$$M=\left(E-\sin(E)\cos(E)\right)+(\cos(E)-e)(\sin(E))$$
$$\boxed{M=E-e\sin(E)}$$
(f) Nesse caso, podemos considerar que o objeto está em uma trajetória elíptica de semi-eixo maior $$a=2R_T$$ e excentricidade $$e=1$$ (elipse degenerada)
Calculando a anomalia excêntrica do objeto ao atingir a terra
$$r=a(1-e\cos(E)) \rightarrow R_T=2R_T(1-\cos(E))$$
$$\cos(E)=\frac{1}{2}\rightarrow E=\pm60^\circ$$
Há duas soluções para $$E$$, deve-se adotar a solução negativa $$-60^\circ=300^\circ$$ pois o objeto está se aproximando da Terra. Utilizando a equação de kepler, pode-se calcular a anomalia média final.
$$ M=E-\sin(E)=6,10\;\rm{rad}$$
A anomalia excêntrica inicial é igual à anomalia média inicial ($$E_o=M_o=\pi \;\rm{rad}$$), pois ele parte do apogeu (ponto mais distante da Terra).
Para calcularmos o tempo, pode-se calcular a variação da anomalia média
$$M-M_o=\frac{2\pi}{T}\Delta t=2,96\;\rm{rad}$$
Calculando o período da órbita
$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi ^2}{GM_T}\rightarrow T=2\pi \sqrt{\frac{(2R_t)^3}{GM_T}}$$
$$T=1,43\cdot10^4\;\rm{s}$$
Portanto
$$\Delta t = \frac{\Delta M}{2 \pi}T$$
$$\boxed{\Delta t=6,76\cdot10^3\;\rm{s}}$$
(g) Calculando o período da órbita de Marte
$$T=a^{3/2}=1,88\;\rm{anos}$$
A anomalia média após um ano será, então
$$M=\frac{1}{1,88}2\pi=3,34\;\rm{rad}$$
Aplicando a Equação de Kepler
$$E=M+e\sin(E)$$
Por iteração, descobre-se que $$E= 3,32\;\rm{rad}$$
Determinando a distância
$$r=a(1-e\cos(E))=1,663\;\rm{UA}$$
Já para a anomalia verdadeira
$$r=\frac{a(1-e^2)}{(1+e\cos(\theta))}$$
$$cos(\theta)=\frac{1}{e}\left(\frac{a(1-e^2)}{r}-1\right)\rightarrow \theta = 189,5^\circ$$
$$\boxed{r=1,663\;\rm{UA}}$$
$$\boxed{\theta=189,5^\circ}$$
Critérios de correção
a)
A soma das distâncias de cada ponto da elipse aos dois focos é constante e igual a $$2a$$: +1 ponto
Marcação correta dos elementos no triângulo: +2 pontos
Aplicação da lei dos cossenos no triângulo: +3 pontos
Fazer o desenvolvimento algébrico necessário para chegar na resposta final: +4 pontos
b)
Expressão para $$a\cos(E)$$ em termos de $$e, r, \theta$$: +2 pontos
Expressão para $$a\sin(E)$$ em termos de $$e, r, \theta$$: +2 pontos
Expressão para $$r^2$$: +2 pontos
Desenvolvimento Algébrico: +2 pontos
Conclusão correta: +2 pontos
c)
+2 Aplicação da condição de crescimento linear
+2 Aplicação de retorno ao mesmo valor após um período
+1 Resposta final correta
(Ou +5 pontos caso o aluno escreva direto a resposta correta)
d)
Cálculo da área $$A_2$$: +4 pontos
Chegar na integral para o cálculo da área $$A_1$$: +5 pontos
Avaliação dos limites de integração para chegar na expressão correta para a área $$A_1$$: +6 pontos
Conclusão correta: +3 pontos
e)
Cálculo da área varrida A em termos de $$E$$ e $$e$$: +6 pontos
Uso da Segunda Lei de Kepler: +1 ponto
Uso do conceito de Anomalia Média: +1 ponto
Conclusão Correta: +2 ponto
f)
Semi-eixo maior $$a=2R_T$$: +1 ponto
Excentricidade $$e=1$$: +1 ponto
Anomalia excêntrica e anomalia média inicial $$E_o=M_o=\pi \;\rm{rad}$$: +2 pontos
Cálculo da anomalia excêntrica final: +5 pontos
Uso da equação de kepler para cálculo da anomalia média final: +3 pontos
Cálculo do período orbital: +1 ponto
Cálculo do tempo de queda: +2 pontos
g)
Cálculo do período orbital: +1 ponto
Cálculo da anomalia média após 1 ano: +1 ponto
Processo iterativo para determinar $$E$$: +4 pontos
Distância Correta: +2 pontos
Equação polar da elipse: +2 pontos
Anomalia verdadeira correta: +2 pontos
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