Soluções – Semana 122

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

Corrida Terreno-Marciana

Igualando a força gravitacional a força centrípeta

$$\frac{GM_\odot M_\oplus}{a_\oplus^2} = M_\oplus \omega_\oplus^2a_\oplus$$

Resolvendo para a velocidade angular da Terra, $\omega_\oplus$,

$$\omega_\oplus = \sqrt{\frac{GM_\odot}{a^3_\oplus}}$$

Similarmente, para Marte,

$$\omega_M= \sqrt{\frac{GM_\odot}{a_M^3}}$$

A velocidade angular relativa será justamente a diferença entre esses dois valores,

$\boxed{\omega_{rel} = 1,67\cdot 10^{-7}\text{ rad/s}}$.

Intermediário

Olhando para o céu

a) A linha verde é a eclíptica.

b) 13 constelações: Áries, Touro, Gêmeos, Câncer, Leão, Virgem, Lira, Escorpião, Ophiucus, Sagitário, Capricórnio, Aquário e Peixes.

c) A linha cinza é a linha do equador.

d) 15 constelações: Aquário, Águia, Cão Menor, Baleia, Erídanos, Hydra Fêmea, Leão, Unicórnio, Ophiucus, Órion, Peixes, Serpente, Sextante, Touro e Virgem.

Para os próximos itens, vamos se basear na figura.

A imagem já contei todas as marcações necessárias. Agora, vamos explicar como se deve fazer as devidas marcações em uma carta celeste.

e) Sabemos que o Equador Celeste passa pelos pontos Leste e Oeste. Podemos observar o Cruzeiro do Sul na parte de baixo da carta, sugerindo que o Sul está para baixo, consequentemente, o Norte deve estar acima. Mas temos que nos lembrar que na carta celeste, o Leste e o Oeste são “invertidos”. Pois estamos vendo o Céu “de cima”. Os pontos foram marcados na imagem de apoio.

f) Para achar a latitude, vamos pegar o circulo máximo que contem o Zênite (encontrado a partir do método das cordas) e os pontos cardeais Norte e Sul. A distância entre o Equador e o Zênite é a própria Latitude! Fazendo as medidas, podemos encontrar $x = 0,0889 R$. Uma vez que as distâncias zenitais não são alteradas na projeção de Aire, podemos fazer uma regra de três. Desse modo,

$$\phi = 90^\circ \cdot \frac{x}{R} = 8^\circ$$

Podemos perceber que o Polo Visível é o Sul (prolongando o cruzeiro 4,5x). Logo, o valor da latitude é $\phi = 8^\circ S$.

Avançado

Mauí e pupílas dilatadas

Precisamos encontrar a diferença de área da pupila de Mauí. A quantidade de luz que chega aos nossos olhos é proporcional a área da pupila, desse modo, é coerente pensar que,

$$m_{PL} - m_{lim} = -2,5 \log \frac{F_{PL}}{F_{lim}}$$

Usando que $F_i = P_0/A_i$, temos,

$$m_{PL} - m_{lim} = 2,5\log \dfrac{A_{PL}}{A_{lim}}$$

$$A_{PL} = A_{lim}\cdot 10^{0,4(m_{PL}-m_{lim})}$$

Substituindo os valores, onde $A_{lim} = \pi D_{lim}^2/4$, obtemos, $A_{PL} = 7,1\text{ mm}^2$. Usando o mesmo método para a segunda situação,

$$A_{YF} = A_{lim}\cdot10^{0,4(m_{YA}-m_{lim})}$$

Numericamente, $A_{YF} = 17,8\text{ mm}^2$. Agora, podemos pegar os diâmetros das pupilas. Isolando, $D$, obtemos, $D = 2\sqrt\frac{A}{\pi}$. Ou seja, $D_{PL} = 3,0\text{ mm}\rightarrow R_{PL} = 1,5\text{ mm}$ e $D_{YA} = 4,8\text{ mm} \rightarrow R_{YA} = 2,4\text{ mm}$. Como vamos assumir a velocidade constante, temos,

$$\boxed{v = \frac{\Delta R}{\Delta t} = \frac{R_{YA} - R_{PL}}{3\text{ s}} = 0,3\text{ mm/s}}$$

Internacional

Cosmologia parcialmente focada

a) O Parâmetro de Densidade é dado por,

$$\Omega = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_c}$$

Isolando $\varepsilon$ na equação de Friedmann,

$$H^2 = \frac{8\pi G\varepsilon}{3c^2} - \frac{kc^2}{a^2}$$

$$\varepsilon = \frac{3c^2}{8\pi G}\left(H^2+\frac{kc^2}{a^2}\right)$$

Recordando-nos que $\varepsilon_c$ corresponde a densidade de energia de um universo plano, i.e. $k=0$, temos,

$$\Omega = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_c} = \frac{H^2+\frac{kc^2}{a^2}}{H^2} = 1+\frac{kc^2}{H^2a^2}$$

Isolando $H^2$ chegamos ao resultado desejado,

$$\boxed{H^2 = \frac{kc^2/a^2}{\Omega -1}}$$

b) No momento atual, $a=1$. Desse modo,

$$H_0^2 = \frac{kc^2}{\Omega_0-1}\rightarrow kc^2 = H_0^2(\Omega_0-1)$$

Trabalhando na expressão do item anterior,

$$a^2 = \frac{kc^2}{\Omega-1}\frac{1}{H^2} = \frac{\Omega_0-1}{\Omega-1}\left(\frac{a}{\dot a}\right)^2 H_0^2$$

Como o universo é feito apenas de matéria $\Omega = \Omega_0 a^{-3}$

$$\dot a^2 = \frac{\Omega_0-1}{\Omega_0/a^3 - 1}H_0^2$$

Reorganizando a expressão,

$$\dot a^2 = H_0^2\left(\frac{\Omega_0}{a}-(\Omega_0-1)\right)$$

$$\frac{da}{dt} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{a} - (\Omega_0-1)}$$

Em um universo fechado, o mesmo expande até certo ponto e depois começa a contrair. Portanto, é correto afirmar que existe um valor de raio máximo, correspondente a $a$, $a(\theta) = A_1 (1-\cos\theta)$ podemos perceber que o valor máximo corresponde à $\theta = \pi$, onde $a_{max} = a(\pi) = 2A_1$. Igualando a nossa derivada a 0,

$$0 = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{a_{max}} - (\Omega_0-1)}$$

Logo,

$$\frac{\Omega_0}{a_{max}} = \Omega_0-1\rightarrow a_{max} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}$$

Substituindo $a_{max} = 2A_1$, obtemos,

$$\boxed{A_1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}}$$

Agora, para encontrarmos a constante $A_2$ vamos utilizar do fato que,

$$\frac{da}{dt} = \frac{da/d\theta}{dt/d\theta}$$

Pelas expressões de $a$ e $t$, podemos encontrar,

$$\frac{da}{d\theta} = A_1\sin\theta$$

$$\frac{dt}{d\theta} = A_2(1-\cos\theta)$$

Logo,

$$\frac{da}{dt} = \frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$$

Igualando as expressões de $da/dt$,

$$\frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-(\Omega_0-1)}$$

Podemos simplificar essa expressão usando que $A_1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}$, isolando $\Omega_0-1 = \frac{\Omega_0}{2A_1}$,

$$\frac{A_1}{A_2}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-\frac{\Omega_0}{2A_1}}$$

Simplificando dentro da raiz,

$$H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1(1-\cos\theta)}-\frac{\Omega_0}{2A_1}} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{A_1}\left(\frac{1}{1-\cos\theta} - \frac{1}{2}\right)}$$

$$= H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{2A_1}\left(\frac{2-(1-\cos\theta)}{1-\cos\theta}\right)} = H_0\sqrt{\frac{\Omega_0}{2A_1}\left(\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}\right)}$$

Agora, fora da raiz, vamos utilizar a identidade $\sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \sqrt{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}$,

$$\frac{A_1}{A_2} \frac{\sqrt{(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)}}{1-\cos\theta} = \frac{A_1}{A_2}\sqrt\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}$$

Ou seja, os termos envolvendo $\theta$ se cancelam! Igualando as expressões,

$$\frac{A_1}{A_2} = H_0\sqrt\frac{\Omega_0}{2A_1}$$

Resolvendo para $A_2$,

$$A_2 = \frac{1}{H_0}\sqrt{\frac{2A_1^3}{\Omega_0}}$$

Por fim, substituindo $A_1$,

$$\boxed{A_2 = \frac{1}{2H_0}\frac{\Omega_0}{(\Omega_0-1)^{3/2}}}$$

Assim, as expressões de $a(\theta)$ e $t(\theta)$ são,

$$\boxed{a(\theta)= \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}(1-\cos\theta) \ \ \ ; \ \ \ t(\theta) = \frac{1}{2H_0}\frac{\Omega_0}{(\Omega_0-1)^{3/2}} (\theta-\sin\theta)}$$

c) Como vimos no item anterior, $a_{max} =2A_1$. Atualmente, temos $a=1$, então a razão entre o raio máximo e o raio atual, é

$$\boxed{\frac{R_{max}}{R_0}=a_{max} = \frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}}$$

d) O universo se torna uma singularidade quando $a=0$. Isso ocorre quando $\theta = 0$ ou $\theta = 2\pi$. Atualmente, $a=1$, o ângulo $\theta_0$ então corresponde a

$$1 = \frac{1}{2}\frac{\Omega_0}{\Omega_0-1}(1-\cos\theta_0) \rightarrow \theta_0 = \cos^{-1}\left(1 - \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right)$$

Isso é certamente $\theta = 2\pi$. O tempo restante de vida do universo, é dado então por,

$$\Delta t = t(2\pi) - t(\theta_0)$$

$$\boxed{\Delta t = \frac{\Omega_0}{2H_0(\Omega_0-1)^{3/2}}\left[2\pi - \cos^{-1}\left(1 - \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right) + \sin\left(\cos^{-1}\left(1 - \frac{2(\Omega_0-1)}{\Omega_0}\right)\right)\right]}$$