Escrito por Rafael Prado
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Questão 01:
A figura mostra um dispositivo simples que pode ser usado para medir o seu tempo de reação. O dispositivo consiste de uma tira de papelão marcada com uma escala e dois pontos. Um colega segura a tira na vertical, com o polegar no ponto da direita da figura. Você posiciona o polegar e o indicador no outro ponto (o ponto esquerdo da figura), sem encostar na tira. Seu colega solta a tira e você tenta segurá-la assim que percebe que ela começa a cair. A marca na posição em que você segura a tira corresponde ao seu tempo de reação. Para calibrar o dispositivo, a escala de tempo deve ser marcada em pontos bem definidos. A que distância, aproximadamente, do ponto da esquerda você deve colocar a marca de $$200$$ $$ms$$?
Cinemática e queda livre
Primeiramente, devemos perceber que, para a régua estar calibrada, uma marcação de tempo específica deve estar a uma distância da extremidade inferior que corresponda à distância que a régua cai neste interval de tempo. Por exemplo, a marcação de 200 ms deve ser posicionada à distância do ponto da esquerda que a régua cai em 200 ms.
Para calcular esta distância, podemos utilizar a equação horária de movimento uniformemente acelerado:
$$s = s_0 + v_0 t + \frac{{a t^2}}{2}$$
Como a velocidade inicial é zero, e podemos considerar a posição inicial igual a 0, a equação se torna:
$$ s = \frac{{a t^2}}{2} $$
A questão pede a distância que devemos colocar a marcação de 200 ms, ou seja, queremos a distância que a régua cai em 200 ms. Como ela está em queda livre, a aceleração é $$ g = 10\: m/s^2 $$. Dessa forma, podemos escrever:
$$ s = \frac{{10*0,2^2}}{2} = 0,2 m = 20 \,cm $$
A distânica $$s$$ da marcação de 200 ms em relação ao ponto da esquerda é $$s = 20 \,cm$$, com um algarismo significativo como os dados do enunciado.
Questão 02:
Considere um cubo e uma esfera que estejam totalmente submersos num fluido qualquer. O cubo e a esfera são feitos do mesmo material e possuem as mesmas áreas superficiais. Qual deles estará sujeito ao maior empuxo? Justifique sua resposta.
Hidrostática e empuxo
Para resolver essa questão, devemos comparar o empuxo exercido no cubo e na esfera. Como ambos objetos estão totalmente imersos em um mesmo fluido qualquer, e a gravidade assumimos que é a mesma, o empuxo $$E_m$$ só dependerá do volume de cada objeto, pela equação:
$$E_m = \rho V g $$
Ou seja, o objeto com maior volume sofrerá o maior empuxo. Como as áreas superficiais são iguais, podemos escrever:
$$ 6 l^2 = 4 \pi R^2$$
Onde $$l$$ é a medida do lado do cubo, e $$R$$ é o raio da esfera. Para comparer os volumes, optarei por escrever $$l$$ em função de $$R$$:
$$l = R\sqrt{\frac{2 \pi}{3}}$$
Escrevendo o volume de cada objeto:
$$V_{cubo} = l^3 = \frac{2 \pi}{3}\sqrt{\frac{2 \pi}{3}}R^3$$
$$V_{esfera} = \frac{{4 \pi R^3}}{3}$$
Para comparar o volume do cubo com o da esfera, podemos multiplicar o lado direito por $$\frac{2}{\sqrt{4}}$$, o que é equivalente a multiplicar por 1:
$$V_{cubo} = \frac{4 \pi R^3}{3}\sqrt{\frac{2 \pi}{3*4}}$$
Como $$\frac{4 \pi R^3}{3}$$ é o volume da esfera:
$$V_{cubo} = V_{esfera}\sqrt{\frac{\pi}{6}}$$
Pelo fato de $$\sqrt{\frac{\pi}{6}}$$ ser menor que 1 ($$\approx 0,72$$), o volume do cubo é menor que o da esfera, então o empuxo nele é menor. Dessa forma, o objeto que está sujeito ao maior empuxo é a esfera.
O objeto que está sujeito ao maior empuxo é a esfera, pois seu volume é maior se comparado ao do cubo.
Questão 03:
Três cilindros feitos do mesmo material, o qual pode se considerado isotrópico, estão, inicialmente, na mesma temperatura. Os cilindros são colocados sobre uma chapa quente (reservatório de calor) e a mesma quantidade de calor é transferida para cada um dos cilindros. Quais serão as relações para as variações nos volumes dos cilindros que aparecem na figura ao lado após o equilíbrio térmico?
Dilatação térmica e cálculo de volume
Primeiramente, a questão pede a relação entre as variações nos volumes após o equilíbrio térmico. Podemos desenvolver essa relação de algumas maneiras, como razões, desigualdades, etc. Nesta solução irei tratar das desigualdades.
Para resolver essa questão, um ponto crucial é a informação que o calor que os cilindros recebem são iguais. Dessa forma, como eles são feitos do mesmo material, a variação de temperature de cada cilindro é diferente:
$$Q = m c \Delta T = \rho V c \Delta T$$
$$\frac{Q}{\rho V c} = \Delta T$$
Percebemos assim que a variação de temperature é inversamente proporcional ao volume de cada cilindro, pois os outros termos são constantes.
Vamos chamar o cilindro da esquerda de cilindro 1, o do meio de cilindro 2, e o da direita de cilindro 3. Com isso, calculando os volumes:
$$V_{10} = 3h*\frac{\pi h^2}{4} = \frac{3 \pi h^3}{4}$$
$$V_{20} = 2h*\pi h^2 = 2 \pi h^3$$
$$V_{30} = 4h*\frac{9 \pi h^2}{4} = 9 \pi h^3$$
A variação de volume calculada utilizando o coeficiente de dilatação:
$$\Delta V = 3 \alpha V_0 \Delta T$$
Porém, como a variação de temperatura é inversamente proporcional ao volume, temos que:
$$V \Delta T = \frac{Q}{\rho c} = constante$$
Dessa forma, as variações de volume de todos os cilindros são iguais!
$$\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V_3$$
Poderíamos também chegar a este resultado encontrando a variação na área e altura dos cilindros para calcular a variação do volume, e iríamos encontrar um termo com $$V \Delta T$$, que é igual para todos os cilíndros, e outro termo que varia de cilindro para cilindro e proporcional a $$\alpha^2$$. Porém, este termo pode ser desprezado, pois a ordem de grandeza de $$\alpha^2$$ normalmente é em torno de $$10^{-10}$$, que é muito menor que os outros termos envolvidos.
$$\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V_3$$
Questão 04:
Uma caixa escorrega por uma pista sem atrito. Quando chega no ponto A, início do trecho curvo na forma de um arco de circunferência de raio $$R=1,75$$ $$m$$, a sua velocidade é $$3$$ $$m/s$$. Determine a velocidade da caixa quando estiver no ponto B. Dado $$\cos 37^{\circ}=0,8$$ e $$\sin 37^{\circ}=0,6$$.
Energia mecânica e conservação de energia
Para resolver essa questão, como todas as forças são conservativas e não há nenhuma forma de dissipação de energia, podemos conservar a energia nos pontos A e B para encontrar a velocidade em questão. Energia em A e B:
$$E_A = mgR(1 – \cos 53^{\circ}) + \frac{m {v_A}^2}{2}$$
$$E_B = mgR(1 – \cos 37^{\circ}) + \frac{m {v_B}^2}{2}$$
O termo $$R(1 – \cos 53^{\circ})$$ é a altura do objeto no ponto A, encontrado subtraindo o raio de curvatura da distância vertical entre o bloco e centro da circunferência (mesma lógica para o ponto B).
Assim, conservando energia, e utilizando o fato que $$\sin 37^{\circ} = \cos 53^{\circ}$$ (ângulos complementares):
$$mgR(1 – \cos 53^{\circ}) + \frac{m {v_A}^2}{2} = mgR(1 – \cos 37^{\circ}) + \frac{m {v_B}^2}{2}$$
$${v_B}^2 = {v_A}^2 + 2gR(\cos 37^{\circ} – \cos 53^{\circ}) = 9 + 2*10*1,75*0,2 = 16$$
$$v_B = 4\,m/s$$
$$v_B = 4$$ $$m/s$$
Questão 05:
A energia potencial de uma partícula de $$50$$ $$g$$ é mostrada no gráfico ao lado em função da sua posição. (a) Estime os pontos de retorno da partícula quando a energia mecânica for $$1$$ $$J$$. (b) Determine a velocidade máxima da partícula quando a energia mecânica for $$5$$ $$J$$.
Energia mecânica e potencial
a) Pontos de retorno são pontos onde a partícula sujeita a um certo potencial muda o sentido de seu movimento. Para que a partícula mude o sentido do seu movimento, o sentido da sua velocidade precisa mudar, ou seja, o “sinal” de sua velocidade precisa ir de positivo para negativo ou vice-versa. Para que isso aconteça, a velocidade precisa em algum momento ser nula (a velocidade não pode ser descontínua, ela não pode simplesmente “pular” de um valor para outro). O ponto onde a velocidade é zero nessa inversão de movimento que chamamos de ponto de retorno. É só imaginar um objeto oscilando em uma mola: onde a amplitude é máxima, ele inverte o sentido do seu movimento, e a velocidade se torna zero nesse ponto. No ponto de retorno, toda energia mecânica do sistema é na forma de energia potencial (cinética é zero). Dessa forma, como a questão pede os pontos de retorno para uma energia mecânica de 1 J, precisamos encontrar os pontos onde a energia potencial é $$1$$ $$J$$. Se traçarmos uma reta horizontal que passa pelo ponto $$U(x) = 1 \,J$$, onde esta reta encostar no gráfico são os pontos de retorno, que neste caso são os pontos $$x = -1,2 \,m$$, e $$x = 1,8 \,m$$.
b) Se a energia mecânica é 5 Joules, para encontrar a velocidade máxima, precisamos fazer a energia potencial ser minima, pois $$U(x) + E_{cinetica} = 5 \,J$$. Neste gráfico, percebemos que a energia potencial minima é de $$-5\,J$$, então a energia cinética máxima é:
$$E_{cinMax} – 5 = 5 \therefore E_{cinMax} = 10 \,J$$
$$\frac{m {v_{max}}^2}{2} = 10 \therefore {v_{max}}^2 = \frac{20}{50*10^{-3}} = 400$$
$$\left|v_{max}\right| = 20\,m/s$$
a) Os pontos de retorno são $$x = -1,2 \,m$$, e $$x = 1,8 \,m$$.
b) $$\left|v_{max}\right| = 20\,m/s$$
Questão 06:
Um homem está sentado sobre uma prancha e se puxa para cima em um plano inclinado de $$30^o$$ como mostra a figura. Se o peso do homem e da prancha é de $$1200$$ $$N$$, determine a aceleração se o homem exerce uma força de $$200$$ $$N$$. Despreze todas as formas de atrito e considere ideais as roldanas e os cabos. ($$sen30^o = 0,5$$).
Força resultante e roldanas
As forças que atuam no sistema homem + prancha são a componente do peso nesse sentido, e as forças que a corda e a roldana exercem. A componente do peso nessa direção, que chamaremos de $$P_x$$ é (negative pois adotamos ):
$$P_x = -P*\sin 30^\circ = -1200*0,5 = -600 \,N$$
Que é negativo pois adotamos o referencial de forma que ao longo da rampa para baixo é negativo, e para cima é positivo. As forças atuando no sentido oposto ao peso são (chamaremos de $$F_x$$ a força resultante neste sentido, e T a tensão no cabo):
$$F_x = T + 2T = 600 \,N$$
Isto acontece pois a tensão na corda é igual a força que o homem a puxa (ação e reação), então tem uma tensão atuando na mão do homem, e mais duas atuando na roldana, que consequentemente atuam na prancha, resultando em $$600\,N$$. Dessa forma, a força resultante ao longo do plano é:
$$F_r = P_x + F_x = -600 + 600 = 0\,N$$
Como a força resultante é nula, a aceleração ao longo do plano é zero.
A aceleração é zero.
Questão 07:
Uma pessoa gostaria de se pesar mas dispõe de uma balança com uma capacidade limitada para $$60$$ $$kg$$ e um dinamômetro. Resolve, então, montar o arranjo de cabos e roldanas ideais mostrado na figura. Com isso, o dinamômetro marca $$50$$ $$N$$ e a balança $$550$$ $$N$$. Qual é o peso do homem?
Força resultante e roldanas
Para resolver essa questão, devemos perceber que a pessoa está em equilíbrio, ou seja, a força resultante atuante sobre ela é zero. A força resultante é composta pela normal $$N$$ da balança, o peso $$P$$ da pessoa, a força $$F_2$$ que o triângulo da imagem exerce na pessoa, e a tensão $$F_1$$ da corda do dinamômetro na pessoa. Adotando para baixo negativo e para cima positivo:
$$F_1 + F_2 + N – P = 0 \,\,\therefore\,\, P = F_1 + F_2 + N$$
Como $$F_1$$ equivale a leitura do dinamômetro (ação e reação), a tensão em toda a corda é $$50\,N$$. Cada roldana móvel realiza uma força igual a duas vezes a tensão na corda que passa por ela, então $$F_2 = 4F_1$$. Substituindo os valores:
$$P = 50 + 200 + 550 = 800\,N$$
$$P = 800$$ $$N$$
Questão 08:
O gráfico abaixo mostra a posição em função do tempo de uma partícula que se move numa trajetória
retilínea, onde:
$$s(t) = \begin{cases} t^2 + 100, & 0 \leq t \leq 10 \\ \,\,\,\,\,\,\,20 t, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$$
Construa os gráficos da velocidade e aceleração em função do tempo no intervalo de tempo mostrado.
Cinemática
Para encontrar o gráfico da velocidade e aceleração em função do tempo, devemos descobrir como essas funções se comportam nos intervalos dados. No intervalo de $$0 \leq t \leq 10$$, temos que a função $$s(t)$$ é dada por:
$$s(t) = t^2 + 100$$
O termo $$t^2$$ caracteriza um movimento acelerado, da forma:
$$s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$
Igualando a primeira equação à segunda:
$$s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} = 100 + t^2$$
Portanto, vemos que nesse intervalo, para satisfazer a igualdade, a aceleração é de $$2 \,m/s^2$$. Além disso, como $$v_0 = 0$$, a velocidade pode ser escrita como:
$$v = a t = 2 t$$.
Para o intervalo $$10 \leq t \leq 30$$, percebemos que não há nenhum termo quadrático do tempo, de forma que o movimento não é acelerado, e da forma:
$$s = s_0 + v t = 20 t$$
Portanto, temos que a velocidade em função do tempo nesse ultimo intervalo é constante e igual a $$20 \,m/s$$. Além disso, pelo fato do movimento não ser acelerado, a aceleração é de $$0 \,m/s^2$$. Dessa forma, Podemos agora escrever as funções da velocidade e aceleração:
$$v(t) = \begin{cases} 2 t, & 0 \leq t \leq 10 \\ 20, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$$
$$a(t) = \begin{cases} 2, & 0 \leq t \leq 10 \\ 0, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$$
Os gráficos da velocidade e aceleração estão representados abaixo, respectivamente:
$$v(t)$$:
$$a(t)$$:
$$v(t) = \begin{cases} 2 t, & 0 \leq t \leq 10 \\ \,\,\,\,\,\,\,20, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$$
$$a(t) = \begin{cases} 2, & 0 \leq t \leq 10 \\ \,\,\,\,\,\,\,0, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$$
$$v(t)$$:
$$a(t)$$:
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