Escrita por Thomas Bergamaschi
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Questão 01:
Duas placas de madeira são interligadas em uma extremidade de maneira a permanecerem sempre perpendiculares. São presas polias nestas placas e por elas passam um fio leve, flexível e inextensível que em suas extremidades sustentam massas iguais a $$30$$ $$kg$$ que escorregam sobre as placas. As placas podem girar em torno do ponto O conforme o desenho abaixo. Para que ângulo(s) $$\theta$$ a aceleração dos corpos é máxima? Determine a tensão no fio para cada caso. Despreze a inércia das polias e o atrito das massas com as placas.
Planos inclinados
Seja a tracao no fio $$T$$. Assim, no corpo da esquerda:
$$ma=mgsin\theta -T$$
E no da direita:
$$ma=T-mgcos\theta$$
Assim, a=\frac{g(sin\theta -cos\theta)}{2}.
Para maximizar $$a$$, o angulo deve ser ou $$0$$ ou $$90$$ de modo que o modulo da aceleracao é de $$5m/s^{2}$$. E em ambos os casos a tracao $$T$$ vale $$T=150$$ $$N$$.
$$\theta=0$$ ou $$\theta=90$$. A tracao vele $$150$$ $$N$$
Questão 02:
Em uma das extremidades de uma mola ideal de comprimento de repouso $$L$$, é presa uma plataforma, enquanto que outra extremidade é presa ao solo e o conjunto é colocado na posição vertical. Tanto a mola quanto a plataforma tem massas desprezíveis. Um objeto de massa $$m$$ é deixado simplesmente apoiado sobre a plataforma e o conjunto é levado lentamente até sua posição de equilíbrio e $$x$$ (veja figura 2). A mola é então comprimida de $$x_{0}$$ e solta a seguir. O sistema passa a oscilar em MHS com freqüência angular $$\omega$$ desde que a massa permaneça presa à plataforma. Contudo, dependendo de $$\omega$$ e de $$x_{0}$$ , o corpo pode perder contato com a plataforma e ser atirado para cima.
a) Determine o menor valor de $$x_{0}$$ (em função de $$\omega$$ ) que permite que o objeto se desprenda da plataforma e seja lançado para cima.
b) Verifique se o objeto é lançado para cima se $$\omega =10$$ $$rad/s$$ e $$x_{0} =15$$ $$cm$$ . Em caso afirmativo, determine a altura, em relação ao ponto de equilíbrio, que o objeto alcança.
Energia potencial elastica
a) Para se despreender a normal entre o bloco e a plataforma deve ser zero. Para isso, a aceleracao maxima da plataforma $$x_{0}\omega^{2}$$ devera ser igual a gravidade. Assim:
$$x_{0}=g/\omega^{2}$$
b) Para se despreender $$x_{0}>g/\omega^{2}$$, neste caso, isso ocorre e a massa se despreende da plataforma.
Por conservacao de energia, a energia inicial é:
$$E_{0}=m\omega^{2}x_{0}^{2}/2$$
E como o bloco se despreende em $$x=g/\omega^{2}$$, sabemos que nesse ponto a massa tera energia cinetica:
$$K=m\omega^{2}(x_{0}^{2}-x^{2})/2$$
E toda essa energia sera convertida em energia potencial gravitacional, de modo que a massa subira uma altura $$h$$, tal que:
$$h=K/(mg)=\omega^{2}(x_{0}^{2}-x^{2})/(2g)$$
E como a altura pedida é $$H=h+x$$, temos que:
$$H=\frac{g}{2\omega^{2}}+\frac{\omega^{2}x_{0}^{2}}{2g}$$
Assim, $$H=16,25$$ $$cm$$.
a) $$x_{0}=g/\omega^{2}$$
b) $$H=16,25$$ $$cm$$.
Questão 03:
Um recipiente cilíndrico, de área de secção reta de $$300$$ $$cm^{2}$$ contém $$3$$ moles de gás ideal diatômico ( $$C_{v} = 5R/2$$ ) que está à mesma pressão externa. Este recipiente contém um pistão que pode se mover sem atrito e todas as paredes são adiabáticas, exceto uma que pode ser retirada para que o gás fique em contato com uma fonte que fornece calor a uma taxa constante (veja figura 4). Num determinado instante o gás sofre um processo termodinâmico ilustrado no diagrama $$PV$$ abaixo e o pistão se move com velocidade constante de $$16,6$$ $$mm/s$$.
a) Qual foi a variação de temperatura do gás depois de decorridos $$50$$ $$s$$?
b) Obtenha a quantidade de calor transferida ao gás durante esse intervalo de tempo.
Termodinamica
a) Como $$PV=nRT$$, sabemos que $$\delta_{T}=\frac{P\delta_{V}}{nR}$$, e como $$\delta_{V}=A*v*\delta{T}$$, obtemos que:
$$\delta_{T}=100$$ $$K$$.
b) Sabemos que o calor pedido sera:
$$Q=nC_{P}\delta_{T}$$
E como $$C_{P}=C_{V}+R=7R/2$$. Temos que:
$$Q=7nR\delta_{T}/2=8715$$ $$J$$
a) $$\delta_{T}=100$$ $$K$$.
b) $$8715$$ $$J$$
Questão 04:
Duas ondas harmônicas, de mesma freqüência $$f$$ e comprimento de onda $$\lambda$$, se propagam com velocidade $$v$$. Em um determinado instante cada uma delas incide, em fase, sobre um meio onde suas velocidades são respectivamente $$v_{1}=2v/3$$ e $$v_{2}=v/2$$ . Após percorrerem uma distância $$d$$ dentro destes meios as ondas emergem para o meio onde sua velocidade é $$v$$ e, em seguida, se superpõem em um ponto P que está a uma grande distância $$l$$ dos meios. Supondo que$$ f$$, independente do meio, permaneça constante, forneça três possíveis valores de$$ d$$, em função de $$\lambda$$, para que em P haja uma interferência destrutiva.
Ondulatoria
No meio inicial devemos ter a relação $$v = \lambda f$$ . No meio i, esta relação será:
$$v= f_{i}\lambda_{i}$$
Onde f não é alterado na passagem entre os meios. Dividindo estas equações, tem-se a relação:
$$v/v_{i}=n_{i}$$
Assim, $$n_{1}=1,5$$ e $$n_{2}=2,0$$.
Assim, a diferenca de fase das duas ondas é:
$$\delta=\frac{2\pi d}{\lambda}(n{2}-n{1}=\frac{d\pi}{\lambda}$$
Para interferencia destrutiva $$\delta=\pi (2m+1)$$ onde $$m = 0,1,2 …$$.
Assim:
$$d=(2m+1)\lambda$$
$$d=(2m+1)\lambda$$
Questão 05:
Um objeto é construído por duas semi-esferas concêntricas de vidro de raios $$r$$ e $$R = 2r$$ e de índices de refração $$n_{1}$$ e $$n_{2}$$ , conforme a figura 5. Faz-se incidir sobre a superfície de raio menor um feixe estreito de luz apontado para o centro $$O$$, a uma altura $$ x$$ do eixo central. O feixe sofre refração e sai pela superfície da semi-esfera maior em um ponto de altura $$y = x$$, abaixo do eixo central. Um segundo objeto é construído de forma semelhante, mas com índices de refração trocados, isto é a semi-esfera de raio menor tem índice de refração $$n_{2}$$ e a de raio maior tem índice $$n_{1}$$.
a) Qual é a relação entre $$x$$ e $$y$$ para este segundo objeto?
b) Para qual dos objetos existe um valor de $$x$$ acima do qual o feixe incidente é totalmente refletido na interface entre os dois meios? Determine esse valor, expressando em função de $$r$$ .
Optica
Seja $$a$$ o angulo que o raio faz com a normal na semiesfera menor, e $$b$$ na semiesfera maior.
Pela lei de Snell, $$n_{1}sina=n_{2}sinb$$. E como $$x=rsina$$ e $$y=Rsinb=2rsinb$$, usamos $$x=y$$ e encontramos que $$2n_{1}=n_{2}$$.
a) Novamente pela lei de Snell, so que trocando $$n_{1} $$ por $$n_{2}$$ e vice versa temos:
$$n_{2}x/r=n_{1}y/(2r)$$
Assim, com $$2n_{1}=n_{2}$$, obtemos que $$y=4x$$.
b) Para reflexao total:
$$n_{2}x/r=n_{1}$$
Assim, $$x=r/2$$.
a) $$y=4x$$
b) $$x=r/2$$
Questão 06:
Um espelho, pendurado ao teto por um fio que passa por seu eixo central, forma um pêndulo de torção que oscila segundo a equação $$\alpha(t)=\alpha_{0}sin(\omega t+\phi)$$ (o sentido positivo de rotação é indicado na figura 6). Um feixe de luz (proveniente de um laser) perpendicular ao fio incide sobre o centro do espelho e a luz refletida atinge uma tela cilíndrica, cujo eixo coincide com o fio e tem raio de curvatura de $$1$$ $$m$$. No instante em que a torção no fio é nula, o feixe de luz forma um ângulo $$\theta=\pi /20$$ com a normal ao espelho e, em frente ao espelho, na direção de sua normal, existe um detector que emite um sinal toda vez que o raio de luz refletido pelo espelho, o atinge. Sabe-se também que o detector está fixo e localizado na posição em que o raio refletido na tela atinge um de seus extremos de oscilação. O gráfico sinal (S) $$X$$ tempo ($$t$$) é mostrado na figura 7.
Ondulatoria
a) Sabemos que a relacao entre $$\alpha_{0}$$ e $$\theta$$ é simplesmente:
$$\alpha_{0}=\theta/2=\pi/40$$ $$rad$$
Ja que o feixe refletido atinge o detetor quando o espelho está formando um ângulo de máxima deflexão, $$\alpha_{0}$$, em relação à sua posição de repouso.
Pelo grafico do sinal pelo tempo, obtemos que o periodo $$T=0,4$$ $$s$$, assim:
$$\omega=2\pi /T=5\pi$$ $$rad/s$$
Sabemos que em $$t=0,1$$ $$s$$, temos um maximo de sinal, e no caso $$\alpha=-\alpha_{0}$$, de modo que $$\phi=\pi$$.
b) A imagem sera:
$$x=(2\alpha)r=\frac{\pi}{20}sin(5\pi t+\pi)$$
a) $$\alpha_{0}=\pi/40$$ $$rad$$, $$\omega=5\pi$$ $$rad/s$$ e $$\phi=\pi$$.
b) $$x=\frac{pi}{20}sin(5\pi t+\pi)$$
Questão 07:
Um corpo, eletricamente neutro e de massa $$m$$ , atravessa com velocidade constante $$v_{0}$$ uma região onde existe um campo elétrico uniforme $$E$$ , perpendicular à sua direção de propagação. Ao atingir o ponto A o corpo explode em dois fragmentos de mesma massa. O primeiro fragmento mantém a mesma direção e sentido do movimento original, sendo o módulo de sua velocidade o triplo da velocidade inicial, e penetra uma região onde há um campo magnético uniforme $$B$$ , perpendicular à sua direção de movimento e cujo sentido é mostrado na figura. Este fragmento, após um breve intervalo de tempo, se choca com o ponto P, a uma distância $$d$$ do ponto onde ele entrou. Considerando que, após a explosão, as únicas forças que atuam sobre os fragmentos são aquelas devido aos campos $$E$$ e/ou $$B$$(ou seja, ignore qualquer força gravitacional ou qualquer interação entre os fragmentos), escreva a equação da trajetória $$y = y(x)$$ do segundo fragmento a partir do momento em que ele entra na região onde existe um campo.
Eletromagnetismo
Pela regra da mao esquerda, sabemos que a carga da particula que penetra o campo magnetico é negativa, e como essa particula faz uma trajetoria circular de raio $$r=d/2$$ podemos achar o modulo da carga da particula ja que:
$$r=\frac{m/2*3v_{0}}{qB}$$
Assim, $$q=3mv/(dB)$$.
Agora, por conservacao de momento, sabemos que a segunda particula volta a regiao de campo eletrico com velocidade $$u=-v_{0}$$. E por conservacao de carga, a carga dessa particula deve ser positiva. Assim, ela sofrera uma forca eletrica tal que:
$$\frac{ma}{2}=Eq$$
Assim, as equacoes horarias sao:
$$x=-v_{0}t$$
$$y=\frac{3Ex^{2}}{dBv}$$
Desse modo:
$$y(x)=-\frac{3Ex^{2}}{dBv}$$
$$y(x)=-\frac{3Ex^{2}}{dBv}$$
Questão 08:
Uma lâmpada de hidrogênio ilumina uma célula fotoelétrica cuja função trabalho é de $$2,656$$ $$eV$$$. Na frente da célula há um filtro que permite a passagem apenas de luz visível. Portanto, o filtro permitirá a incidência somente das três primeiras linhas de mais baixa energia da série de Balmer (série cuja transição entre níveis de energia tem como nível inferior$$ n = 2$$). Sabendo-se que a energia do hidrogênio é dada por $$E_{n}=-\frac{13,6}{n^{2}}$$ $$eV$$ , determine
a) A energia cinética máxima (em $$eV$$) dos elétrons foto ejetados
b) O comprimento de onda de de Broglie destes elétrons.
Comprimento de onda de Broglie
a) Sabemos que havera uma emissao de foton de energia:
$$\delta=13,6(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{n^{2}})$$
Onde $$n$$ pode ser $$3$$, $$4$$, ou $$5$$.
Para maximizar a energia cinetica dos eletrons ejetados $$K=\delta-\phi$$, temos que maximizar $$\delta$$, e pra isso $$n$$ tem de ser $$5$$.
Com isso, encontramos $$K=0,2$$ $$eV$$
b) Segundo de Broglie, $$\lambda=\frac{h}{p}$$. Assim, como $$K=\frac{p^{2}}{2m}$$, temos que:
$$K=\frac{h^{2}}{2m\lambda^{2}}$$
Assim, obtemos:
$$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2mK}}=2,5$$ $$nm$$
a) $$K=0,2$$ $$eV$$
b) $$\lambda= 2,5$$ $$nm$$
[/spoiler]
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