Escrita por Thomas Bergamaschi
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Questão 01:
Dois eixos iguais são construídos em forma de três cilindros concêntricos cujos raios valem respectivamente $$R$$, $$2R$$ e $$3R$$ e a distância entre os centros vale $$L = 3\pi R$$ . Ambos os eixos giram com mesmo período de rotação $$T_{0}$$ e três correias são presas nos eixos como mostra a figura. Em cada correia há uma marca, que no instante $$t = 0$$ está alinhada com a referência $$O$$. Supondo que as correias giram sem escorregar nos eixos, qual é o menor tempo para que as três marcas estejam alinhadas novamente com a referência $$O$$?
Movimento circular
Sabemos que apos uma volta cada marca percorrera uma distancia $$d_{i}=2\pi R_{i}+2L=2\pi R_{i}+6\pi R$$. onde $$d_{i}$$ representa a distancia percorrida pela correia com raio $$R_{i}$$.
Assim, temos que, $$d_{1}=8\pi R$$, $$d_{2}=10\pi R$$ e $$d_{3}=12\pi R$$.
Agora, vamos assumir que a velocidade da primeira correia é $$v_{1}$$, tal que $$v_{1}=2\pi R/T_{0}$$. Dessa forma a velocidade da segunda e terceira correia é $$2v_{1}$$ e $$3v_{1}$$ respectivamente.
Assim, as marcas vao coincidir quando cada correia percorrer $$N_{i}$$ voltas inteiras, que ocorrera em um tempo $$t$$ tal que:
$$t=\frac{N_{1}d_{1}}{v_{1}}=\frac{N_{2}d_{2}}{v_{2}}=\frac{N_{3}d_{3}}{v_{3}}$$
Dessa forma, achamos que:
$$8N_{1}=5N_{2}=4N_{3}$$
Como todos os $$N_{i}$$ sao inteiros, precisamos encontrar o MMC desses numeros($$8$$,$$5$$ e $$4$$) que é $$40$$.
Assim, $$N_{1}=5$$ e o tempo é:
$$t=frac{N_{1}d_{1}}{v_{1}}=20T_{0}$$
O tempo é $$20T_{0}$$.
Questão 02:
Uma lente biconvexa é construída com um plástico de índice de refração $$n$$ . Fazendo um experimento no ar, observa-se que quando um objeto é colocado a uma distância $$p = 45$$ $$cm$$ da lente, uma imagem real é formada a $$360$$ cm da lente. Repetindo o experimento dentro de um liquido de índice de refração $$n_{l} =1,5$$ , para um objeto a mesma distância $$p = 45$$ $$cm$$ da lente, obtém-se uma imagem virtual a $$30$$ $$cm$$ da lente. Determine $$n$$ e os raios de curvatura da lente.
Lentes e Optica
Usando a equacao de Gauss temos:
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}$$
E com $$p=45$$ $$cm$$ e $$p’=360$$ $$cm$$ temos $$f=40$$ $$cm$$.
Agora podemos usar a equacao dos fabricadores de lente, e como a lente é biconvexa os seus dois raios de curvatura sao iguais assim temos que no ar:
$$\frac{1}{f}=\frac{2(n-1)}{R}$$
Assim, $$R=80(n-1)$$.
Ja na agua usamos a equacao de gauss novamente e obtemos que o foco da lente na agua é de $$f’=-90$$ $$cm$$.
Assim, usando a equacao dos fabricadores de lente obtemos:
$$\frac{1}{f’}=\frac{2(n-n_{l})}{Rn_{l}}$$
Logo, $$R=120(1,5-n)$$.
Resolvendo o sistema para $$R$$ e$$n$$, obtemos que:
$$n=1,3$$ e $$R=24$$ $$cm$$
$$n=1,3$$ e $$R=24$$ $$cm$$
Questão 03 (Questao exclusiva do primeiro ano):
Em um recipiente de capacidade térmica desprezível existe uma mistura de água e gelo. A massa desta mistura é de $$10$$ $$kg$$. O recipiente é colocado no interior de uma casa e imediatamente inicia-se a medição da temperatura da mistura em função do tempo. O gráfico obtido está indicado na figura $$2$$. Qual era a massa de gelo que existia no recipiente quando este foi colocado nesta residência? Considere que o calor latente de fusão do gelo vale $$3,0*10^{5}$$ $$J/kg$$ e que o calor específico da água é $$4200$$ $$J/(kg K)$$.
Calorimetria
Após $$50$$ minutos, temos no recipiente água a $$0$$ graus Celsius. Verificamos que esta massa de água aumenta a temperatura de $$2$$ $$C$$ em $$10$$ $$min$$ (a variação de $$2$$ $$C$$ é igual à variação de $$2$$ $$K$$). Isto significa que recebeu uma quantidade de calor:
$$Q = mc\delta_{T} =10*4200*2 = 84000$$ $$J$$
Este fato ocorre em $$10$$ min, ou $$600$$ segundos. A potência de fornecimento de energia é de:
$$P=\frac{84000}{600}=140$$ $$J/s$$
Para o gelo ser derretido ele precisou receber energia durante $$50$$ $$min$$, ou $$3000$$ $$s$$ então ele recebeu uma quantidade de energia igual a:
$$W=140*3000=420000$$ $$J$$
Sendo o calor latente de fusão do gelo $$3,0 x 10^{5}$$ $$J/kg$$, então a massa de gelo era:
$$m=\frac{4,2*10^{5}}{3,0*10^{5}}=1,4$$ $$kg$$
$$m=1,4$$ $$kg$$
Questão 04:
Um palco flutuante, de base plana $$A$$, foi projetado para ser utilizado em água do mar, cuja densidade é $$3%$$ maior que a da água doce. Quando ele está com carga total, o nível de água atinge a linha de segurança, que está à altura $$h_{m}$$ da base inferior. Contudo, os promotores de um evento quiseram usar esse mesmo palco em um lago de água doce. Cientes de que com carga total o nível de segurança seria ultrapassado, eles propuseram aos patrocinadores que, em troca de publicidade, providenciassem quatro balões iguais cheios de um gás (cuja densidade é um décimo da densidade do ar) os quais seriam amarrados em pontos convenientes para que o palco voltasse à linha de segurança original. Sabendo-se que a carga total, incluída a massa do próprio palco, é de $$6400$$ $$kg$$, calcule o volume de cada balão. Despreze as massas dos balões, das cordas e do próprio gás.
Empuxo
No mar, que possui densidade $$d$$, teremos equilibrio é numericamente igual ao peso. Assumindo que $$M$$ é a massa total temos que:
$$Mg=d*A*h_{m}*g$$
De modo que $$h_{m}=\frac{M}{dA}$$.
Na agua doce, com densidade $$D$$, o empuxo total tem de se igualar ao peso, logo:
$$Mg=E_{1}+4E_{balao}$$
Onde $$E_{1}$$ se trata do empuxo da plataforma, dado por $$E_{1}=A*D*g*h_{m}$$. E $$E_{balao}$$ se trata do empuxo de cada balao, dado por $$4\rho Vg$$, onde $$\rho$$ se trata da densidade do ar.
Assim, obtemos que o volume do balao é:
$$V=38,8$$ $$m^{3}$$
$$V=38,8$$ $$m^{3}$$
Questão 05:
A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular $$\omega$$ em torno de certo eixo, é dada por $$E_{rot} = I\omega^{2}/2$$ . A grandeza $$I$$ é chamada de momento de inércia, a qual depende não só da massa do corpo, mas também de como a massa está distribuída em torno do eixo de rotação. Seja um corpo rígido constituído de dezesseis bolas de mesma massa m que estão distribuídas simetricamente ao longo de duas circunferências concêntricas de raios $$r$$ e $$2r$$. Elas estão ligadas entre si por barras finas e rígidas de massa desprezível, como mostra a figura 3. Expressando o resultado em termos da massa total $$M =16m$$ e do raio externo $$R = 2r$$ , calcule o momento de inércia do corpo na situação onde ele gira, com velocidade angular constante $$\omega$$ , em torno de um eixo:
a) perpendicular ao plano que contem as circunferências e que passa pelos seus centros
b) que pertence ao plano que contém as circunferências e que passa por quatro bolas.
Energia e movimento circular
Em uma trajetoria circular a velocidade da particula é dada por $$v=\omega r$$.
De modo que a energia cinetica de cada particula sera $$E=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{mr^{2}\omega^{2}}{2}$$. Com isso em mente podemos resolver o exercicio como abaixo:
a) Nesse caso temos $$8$$ particulas a uma distancia $$r$$ e $$8$$ a uma distancia $$2r$$, de modo que a energia total é a soma das enrgias individuais, assim:
$$E_{Total}=20mr^{2}\omega^{2}$$
Assim, $$I=40mr^{2}=\frac{5MR^{2}}{8}$$
b) Nesse caso, temos $$4$$ particulas a uma distancia $$rcos(45^{\circ})$$ do eixo, $$4$$ a uma distancia $$r$$, $$4 $$ a uma distancia $$2rcos(45^{\circ})$$ e mais $$4$$ a uma distancia $$2r$$, e tambem $$4$$ particulas a uma distancia $$0$$ do eixo.
Assim, somando as energias obtemos que:
$$E_{Total}=10mr^{2}\omega^{2}$$
Assim, $$I=20mr^{2}=\frac{5MR^{2}}{16}$$
a) $$\frac{5MR^{2}}{8}$$
b) $$\frac{5MR^{2}}{16}$$
Questão 06 (Exclusiva para o primeiro ano):
Em uma estrada retilínea, dois carros, $$A$$e $$B$$, estão se movendo em sentidos opostos com velocidades constantes. Um helicóptero acompanha o movimento dos carros, movendo-se paralelamente à estrada e no mesmo sentido de $$A$$. Para um passageiro do carro $$A$$ (isto é, no referencial do carro $$A$$), a velocidade do helicóptero é de $$100$$ $$km/h$$, enquanto que para um passageiro de $$B$$ esta velocidade, em modulo, é de $$150$$ $$km/h$$. Sabendo-se que em $$t = 0$$ a distância entre os carros é de $$10 km$$, em que instante eles irão se encontrar?
Cinematica
No referencial de A, vemos o helicoptero a $$100$$ $$km/h$$ e como um observador em B ve o helicoptero se movendo a $$150$$ $$km/h$$, podemos concluir trivialmente que um observador em A ve B se aproximando a $$50$$ $$km/h$$, assim, o tempo para encontro $$T$$ é:
$$T=\frac{d}{v}=\frac{10}{50}$$ $$h=0,2$$ $$h$$
$$0,2$$ $$h$$=$$12$$ $$min$$
Questão 07:
Em um quadro de madeira fixo na parede é preso um pêndulo constituído de uma barra metálica de massa desprezível de $$40$$ $$cm$$ e um pequeno disco que pode oscilar livremente. O pêndulo é colocado a oscilar e, no momento em que ele passa pela parte mais baixa de sua trajetória, com velocidade igual a $$2,0$$ $$m/s$$, deixa-se o quadro cair em queda livre (sem girar, inclinar, vibrar ou encostar na parede). Depois de quanto tempo o disco voltará a passar pela mesma posição mais baixa de sua trajetória? Despreze o atrito e a resistência do ar.
Movimento circular
O quadro está em queda livre assim como o pêndulo, portanto, relativamente ao quadro o pêndulo mover-se-á como se não existisse a gravidade. Isto fará com que ele gire com velocidade angular constante. Esta velocidade é:
$$\omega=\frac{v}{r}=5,0$$ $$rad/s$$
Assim, o tempo pedido é:
$$T=2\pi R/\omega=0,4\pi$$ $$s$$
$$0,4\pi$$ $$s$$
Questão 08:
Uma calota esférica, de $$60$$ $$cm$$ de raio e espessura desprezível, é espelhada em ambos os lados de modo a constituírem dois espelhos. Colocando-se um objeto à uma distância $$p$$ desta calota, nota-se que a altura de sua imagem, quando a face convexa atua como espelho, é metade da altura da imagem obtida quando colocamos o outro lado da calota. Sabendo-se que em qualquer dos casos a imagem é direita, determine $$p$$.
Optica
Nesse caso, o foco do espelho é $$f=R/2$$. Assim, na face concava temos que $$f_{1}=30$$ $$cm$$. E na convexa, $$f_{2}=-30$$ $$cm$$.
Pela equacao de Gauss, e pela equacao do aumento de uma lente, temos que na face concava o aumento é $$M_{1}=\frac{f}{f-p}=\frac{30}{30-p}$$. E na convexa o aumento é $$M_{2}=\frac{f}{f-p}=\frac{30}{30+p}$$.
Como a razao das alturas é 2, a razao das magnificacoes tambem devera ser, logo:
$$\frac{30+p}{30-p}=2$$
Assim, $$p=10$$ $$cm$$.
$$p=10$$ $$cm$$
Questão 09:
Na superfície de um lago de águas paradas encontra-se em movimento um tronco, de massa $$400$$ $$kg$$ e comprimento $$18$$ $$m$$, com uma velocidade constante igual a $$4,0$$ $$m/s$$ em relação às margens do lago. Em um determinado instante, um homem de massa $$80$$ $$kg$$ começa a correr sobre ele, saindo de uma extremidade a outra, com uma velocidade igual a $$3,0$$ $$m/s$$ em relação ao tronco e no mesmo sentido de seu movimento. Qual a distância percorrida pelo tronco sobre a água, do instante que o homem deixa uma de suas extremidades e alcança a outra extremidade? Considere desprezível a resistência produzida pela água ao movimento do tronco.
Conservacao de Momento
Temos simplesmente, que vai demorar um tempo $$T$$, para chegar ao outro lado, tal que $$T=18/3$$ $$s=6$$ $$s$$.
Sabemos que a massa total do sistemema é $$480$$ $$kg$$, assim, por conservacao de momento, onde $$u$$ é a nova velocidade do barco temos:
$$480*4=480*u+80*3$$
Onde o primeiro termo representa o momento inicial, e o terceiro termo o momento da pessoa no referencial do barco. Assim, $$u=3,5$$ $$m/s$$, e a distancia é $$uT=21$$ $$m$$.
$$21$$ $$m$$
Questão 10:
Desejando determinar a temperatura de um forno, um estudante colocou em seu interior um cilindro de massa de $$50$$ $$g$$ e calor específico igual a $$0,22 $$ $$cal/g^{\circ}C$$. Após certo intervalo de tempo o cilindro foi retirado do forno e imediatamente colocado no interior de uma garrafa térmica com $$330$$ $$ g$$ de água. A temperatura da água variou de $$19$$ $$^{\circ}C$$ para $$20$$ $$C$$. Considerando o calor específico da água $$1,0$$ $$cal/g^{\circ}C$$, calcule a temperatura que se encontrava o forno no momento que o cilindro foi retirado do seu interior. Despreze as perdas de calor para o ambiente e a capacidade térmica da garrafa.
Calorimetria
Sabemos que a soma dos calores trocados deve ser zero. Assim:
$$m_{cilindro}*c_{cilindro}*(20-T)+m_{agua}*c_{agua}*(20-19)=0$$
Onde $$T$$ se trata da temperatura pdida. Assim, $$T=50$$ $$^{\circ}C$$
$$T=50$$ $$^{circ}C$$
Questão 11 (Exclusiva para o primeiro ano):
Fernando está parado nas margens de um lago observando o movimento de um barco, de comprimento de $$2,0$$ $$m$$, que se desloca para a sua esquerda. Em determinado instante, a partir da parte central do barco, um marinheiro lança verticalmente para cima uma bola que alcança a altura de $$5,0$$ $$m$$. Fernando constata que a bola ao descer, bate na ponta direita do barco (atrás do barco). No momento que a bola foi lançada, o barco estava com uma velocidade igual a $$2,0$$ $$m/s$$. Qual a aceleração média desenvolvida pelo barco? Despreze a resistência do ar ou a resistência da água.
Cinematica
Sabemos que o tempo de subida sera dado por:
$$T=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$
Onde $$h=5,0$$ $$m$$, assim $$T=1,0s$$. E o tempo total de voo sera $$2T=2,0s$$.
Nesse tempo, a bola ira percorrer uma distancia $$D=v_{x}*2T=4,0$$ $$m$$.
E o barco uma distancia de $$L=5,0$$ $$m$$, ja que a bola sai do frente do barco e bate em seu fundo.
Assim:
$$L=v_{x}*2T+a(2T)^{2}/2$$
Assim, obtemos que a aceleracao $$a$$ devera ser de $$0,5$$ $$m/s^{2}$$.
$$0,5$$ $$m/s^{2}$$
Questão 12:
Um recipiente cilíndrico, de área de secção reta de $$300$$ $$cm^{2}$$ contém $$3$$ moles de gás ideal diatômico ( $$C_{v} = 5R/2$$ ) que está à mesma pressão externa. Este recipiente contém um pistão que pode se mover sem atrito e todas as paredes são adiabáticas, exceto uma que pode ser retirada para que o gás fique em contato com uma fonte que fornece calor a uma taxa constante (veja figura 4). Num determinado instante o gás sofre um processo termodinâmico ilustrado no diagrama $$PV$$ abaixo e o pistão se move com velocidade constante de $$16,6$$ $$mm/s$$.
a) Qual foi a variação de temperatura do gás depois de decorridos $$50$$ $$s$$?
b) Obtenha a quantidade de calor transferida ao gás durante esse intervalo de tempo.
Termodinamica
a) Como $$PV=nRT$$, sabemos que $$\delta_{T}=\frac{P\delta_{V}}{nR}$$, e como $$\delta_{V}=A*v*\delta{T}$$, obtemos que:
$$\delta_{T}=100$$ $$K$$.
b) Sabemos que o calor pedido sera:
$$Q=nC_{P}\delta_{T}$$
E como $$C_{P}=C_{V}+R=7R/2$$. Temos que:
$$Q=7nR\delta_{T}/2=8715$$ $$J$$
a) $$\delta_{T}=100$$ $$K$$.
b) $$8715$$ $$J$$
Questão 13:
Um paralelepípedo B está sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre eles vale $$\mu$$. Um fio inextensível e sem peso é preso a ele e, passando por uma polia, é ligado a um outro corpo A que está pendurado. Sobre o bloco B encontra-se um carro, como mostra a figura 5. Este carro é acelerado de maneira que o corpo A sobe com velocidade constante. Considerando que as massas dos corpos A, B e do carro são iguais, determine:
a) o sentido da aceleração do carro. Justifique.
b) o valor desta aceleração em função de $$\mu$$ e da aceleração da gravidade $$g$$.
Atrito
a) Para A subir com velocidade constante, deve haver uma forca que empurra o bloco B a esquerda. E essa forca se origina com o movimento do carro a direita.
b) Sabemos que a tracao no fio devera ser igual ao peso de A, assim:
$$T=mg$$
Tambem sabemos que a forca de atrito de B com o chao é:
$$F_{at}=N\mu=2mg\mu$$
Assim, para o bloco B se mover velocidade constante, o carro deve ser empurrado com uma froca $$F$$ tal que:
$$F=T+F_{at}=mg(1+2\mu)$$
Assim, como $$F=ma$$, temos:
$$a=g(1+2\mu)$$
a) Acima
b) $$a=g(1+2\mu)$$
Questão 14:
Em uma região cuja temperatura ambiente é de $$27$$ $$^{\circ}C$$ e a pressão é de $$1$$ $$atm$$, existe um lago. Se uma bolha de ar de $$14$$ $$cm^{3}$$ é produzida a uma profundidade de $$40$$ $$m$$ neste lago, cuja temperatura a esta profundidade é $$5$$ de $$7$$ $$^{\circ}C$$, qual será o volume (em $$cm^{3}$$) desta bolha ao chegar à superfície do lago? Considere que o ar é um gás ideal.
Gases ideais
Sabemos que a quantia $$PV/T$$ se conserva, assim usando que a pressao no fundo do lago é $$P=P_{atmosferica}+\rho gh=5$$ $$atm$$.
Assim, obtemos que o volume final é de $$75$$ $$cm^{3}$$
$$75$$ $$cm^{3}$$
Questão 15 (Exclusiva para o primeiro ano):
Uma longa avenida tem onze semáforos sincronizados. A distância entre eles é de $$200$$ $$m$$, exceto a distância entre o primeiro e o segundo semáforo, que é menor. Cada semáforo fica verde durante $$30$$ $$s$$ e está sincronizado de forma que cada um deles abre (isto é, permite a passagem) $$10$$ segundos após o anterior ficar verde. Suponha que um motorista queira trafegar, a partir do segundo semáforo, com uma velocidade constante $$v_{m}$$ , que é a média entre a velocidade máxima e mínima que permite o veículo atravessar a avenida sem parar em nenhum semáforo. Inicialmente o veiculo está parado no primeiro semáforo, mas no instante em que este sinal fica verde ele se move com aceleração constante até atingir o segundo semáforo com velocidade $$v_{m}$$ no momento em que este está abrindo.
a) Qual é o valor desta aceleração?
b) Qual é a distância entre o primeiro e o segundo semáforo?
Cinematica
a) Entre o primeiro e segundo semaforo, a velocidade varia da forma:
$$v=v_{0}+at$$
Sabemos que o ultimo semaforo, vai abrir em $$t=90$$ $$s$$ e fechar em $$t’=120$$ $$s$$. Tambem sabemos, que a distancia entre o ultimo semaforo e o segundo é $$1800$$ $$m$$.
Assim, a velocidade maxima é tal que o trajeto é completo em tempo $$t$$, assim a velocidade maxima é $$20$$ $$m/s$$. Ja a velocidade minima ocorre quando o trajeto é completo com tempo $$t’$$, assim a velocidade minima é $$15$$ $$m/s$$.
Dessa forma a velocidade media é de $$17,5$$ $$m/s$$. E a aceleracao é tal que:
$$a=v/t=1,75$$ $$m/s^{2}$$
Note que o carro acelera por $$10$$ $$s$$ apenas.
b) Usando que a distancia percorrida acelerando sera:
$$X=at^{2}/2$$
Temos que $$X=87,5$$ $$m$$
a) $$1,75$$ $$m/s^{2}$$
b) $$87,5$$ $$m$$
Questão 16:
Um trem de ondas sofre refração ao passar do meio 1 para o meio 2. A figura 6 mostra algumas frentes de onda num determinado instante. A freqüência e a velocidade das ondas no meio 1 são respectivamente $$400$$ $$H$$z e $$200\sqrt{2}$$ $$m/s$$. Qual o comprimento de onda das ondas no meio 2?
Refracao de ondas
Pela lei de snell:
$$\frac{v_{1}}{sin\theta_{1}}=\frac{v_{2}}{sin\theta_{2}}$$
Onde os indices $$1$$ e $$2$$, sao do meio 1 e 2 respectivamente, e $$\theta_{i}$$ é o angulo da onda com a normal.
Com isso, achamos que no meio 2 a velocidade é de $$v_{2}=400$$ $$m/s$$. Assim, como $$v=\lambda f$$, temos que:
$$\lambda=1m$$
$$\lambda=1m$$
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