Escrita por Levy Bruno Batista
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Questão 01:
Técnicos de um laboratório de testes desejam determinar se um novo dispositivo é capaz de resistir a grandes acelerações e desacelerações. Para descobrir isso, eles colam tal dispositivo de $$5,0$$ $$kg$$ a uma plataforma de testes que depois é deslocada verticalmente para cima e para baixo. O gráfico da figura 1 mostra a aceleração durante um segundo do movimento.
a) Identifique as forças exercidas sobre o dispositivo e desenhe um diagrama de forças para ele.
b) Em que instante o peso do dispositivo é máximo? Quanto vale a aceleração neste instante?
c) O peso do dispositivo é nulo em algum momento? Em caso afirmativo, em que instante isso ocorre? Qual é a aceleração neste instante?
d) Suponha que os técnicos se esqueçam de colar o dispositivo à plataforma de testes. O dispositivo permanecerá sobre a plataforma de testes durante o primeiro segundo de movimento ou ele sairá voando da plataforma em algum instante de tempo? Em caso afirmativo, em que instante isso ocorreria?
Dinâmica
a) As forças que agem no dispositivo é o peso deste e a normal de contato exercida pela plataforma. Observe que ambas as forças são verticais, porém possuem sentidos opostos, pois o peso é direcionado para baixo, enquanto a normal é para cima.
b) Entende-se que o “peso” citado pela questão é, na verdade, o que é mais conhecido por “peso aparente”, isto é, o valor da força normal de reação, já que esta varia de acordo com a aceleração do dispositivo da seguinte forma:
$$N-P=ma_{y}$$
$$N=m(g+a_{y})$$
Portanto, $$N$$ é máxima quando $$a_{y}$$ também o for, ou seja, quando tivermos $$a_{y}=19,6 \frac{m}{s^{2}}$$, que corresponde a $$t=0,0 s$$.
c) Novamente, de $$N=m(g+a_{y})$$, temos que $$N=0$$ ocorre quando $$a_{y}=-g=-10,0 \frac{m}{s^{2}}$$. Por outro lado, pelo gráfico, depreende-se que a função $$a_{y}(t)$$ é dada por:
$$a_{y}(t)=19,6- \frac{39,2}{1,0}t$$
Daí:
$$-10,0=19,6-39t$$
$$t \approx 0,76 s$$
d) O dispositivo perderá o contato com a plataforma no instante $$t \approx 0,76 s$$, ou seja, quando $$a_{y}=-10,0 \frac{m}{s^{2}}$$, pois a partir desse instante o módulo de $$a_{y}$$ passa a ser maior que o de $$g$$, e ambas estarão no mesmo sentido.
a) Peso do dispositivo e a normal de contato com a plataforma.
b) $$t=0,0 s$$; $$a_{y}=19,6 \frac{m}{s^{2}}$$
c) Sim; $$t\approx 0,76 s$$; $$a_{y}=-10,0 \frac{m}{s^{2}}$$
d) Sairá voando da plataforma; $$t\approx 0,76 s$$
Questão 02:
O planeta Saturno possui uma grande lua chamada Titã. Titã possui uma massa de $$1,85$$ vezes a massa da nossa lua. Saturno em si possui uma massa $$95$$ vezes maior que a massa da Terra. Nossa lua possui uma massa $$0,0123$$ vezes aquela da Terra. A distância entre os centros da Terra e a Lua é de $$240.000$$ milhas, e a distância entre os centros de Saturno e Titã é $$760.000$$ milhas. Referindo-se à lei da gravitação e explicando seu raciocínio em termos da razão entre escalas apenas (sem substituição na fórmula), calcule a razão da força centrípeta $$F_{TS}$$ exercida sobre Titã por Saturno com a força centrípeta $$F_{LT}$$, exercida sobre a Lua pela Terra (forneça seus argumentos em termos de se $$F_{TS}$$ será maior ou menor que $$F_{LT}$$, e em que razão, como prescrito pela lei da gravitação).
Gravitação
A força de interação gravitacional entre Titã e Saturno é:
$$F_{TS}=\frac{GM_{Ti}M_{S}}{d_{Ti,S}^{2}}$$
Por outro lado, a questão nos dá a relação entre a massa de Titã e a da Lua, entre a massa de Saturno e da Terra, além da relação entre a distância Titã-Saturno e a distância Lua-Terra. Logo, escrevendo matematicamente essas três relações:
$$M_{Ti}=1,85M_{L}$$
$$M_{S}=95M_{Te}$$
$$d_{Ti,S}=\frac{76}{24}d_{Te,L}$$
Portanto, podemos reescrever a força entre Titã e Saturno como:
$$F_{TS}=\frac{G*1,85M_{L}*95M_{Te}}{(\frac{76}{24})^{2}d_{Te,L}^{2}}$$
$$F_{TS}=\frac{24^{2}*95*1,85}{76^{2}}\frac{GM_{L}M_{Te}}{d_{Te,L}^{2}}$$
$$\frac{F_{TS}}{F_{LT}}\approx 17,5$$
$$F_{TS} > F_{LT}$$
$$\frac{F_{TS}}{F_{LT}}\approx 17,5$$
$$F_{TS} > F_{LT}$$
Questão 03:
A figura 2 representa a força que uma partícula sofre durante um pequeno intervalo de tempo. Calcule o impulso que a partícula sofreu.
Impulso e quantidade de movimento
O impulso será numericamente igual à área compreendida entre a curva de $$F_{x}$$ e o eixo $$t=0$$. Logo:
$$I=-\frac{500*2*10^{-3}}{2}+\frac{2000*6*10^{-3}}{2}-\frac{500*2*10^{-3}}{2}$$
$$I=6-1=5 N*s$$
$$I=6-1=5 N*s$$
Questão 04:
A Figura 3 representa a energia potencial associada a uma partícula de $$500$$ $$g$$ que se move ao longo do eixo x. Supondo que a energia mecânica da partícula é igual a $$12$$ $$J$$, responda:
a) Quais os pontos de retorno da partícula?
b) Qual é a máxima velocidade da partícula? Em que ou quais pontos ocorre?
c) Faça uma descrição do movimento da partícula quando esta se move da esquerda para a direita.
Trabalho e energia
a) Pelo gráfico, podemos obter os pontos de retorno, isto é, os pontos em que a energia da partícula é exclusivamente potencial. Esses pontos correspondem às posições $$x=0,75$$ $$m$$ e $$x=7$$ $$m$$.
b) A maior velocidade será alcançada justamente quando a energia potencial for mínima, isto é, nas posições $$x=1$$ $$m$$ e $$x=4$$ $$m$$. Tal velocidade será igual a:
$$V=\sqrt{\frac{2E}{m}}$$
$$V=\sqrt{\frac{24}{0,5}}$$
$$V=4\sqrt 3 \approx 6,8 \frac{m}{s}$$
c) De $$x=0,75$$ $$m$$ até $$x=1$$ $$m$$: velocidade cresce.
De $$x=1$$ $$m$$ até $$x=2$$ $$m$$: velocidade diminui.
De $$x=2$$ $$m$$ até $$x=4$$ $$m$$: velocidade cresce.
De $$x=4$$ $$m$$ até $$x=7$$ $$m$$: velocidade diminui.
Tal análise é obtida a partir da curva de energia potencial dada na questão, e tendo em vista que a energia mecânica do sistema é conservada, a diminuição da energia potencial corresponde ao aumento de energia cinética e vice-versa.
a) $$x=0,75$$ $$m$$ e $$x=7$$ $$m$$.
b) $$V=4\sqrt 3 \approx 6,8 \frac{m}{s}$$
c) De $$x=0,75$$ $$m$$ até $$x=1$$ $$m$$: velocidade cresce.
De $$x=1$$ $$m$$ até $$x=2$$ $$m$$: velocidade diminui.
De $$x=2$$ $$m$$ até $$x=4$$ $$m$$: velocidade cresce.
De $$x=4$$ $$m$$ até $$x=7$$ $$m$$: velocidade diminui.
Questão 05:
Uma caixa de madeira de peso $$P$$ encontra-se em repouso sobre uma superfície plana. O coeficiente de atrito estático entre a caixa e a superfície plana é $$\mu_{e}$$. Posteriormente, um garoto começa a empurrar a caixa com uma força $$F$$ crescente, que faz um ângulo $$\theta$$ com a horizontal, até que a caixa começa a se mover, como mostra a figura 4. Calcule:
a) O menor valor de $$F$$ para que a caixa se mova.
b) A força de reação normal à superfície, associada ao valor de $$F$$ do item a), sobre o bloco.
Dinâmica
a) Nessa situação, temos, na horizontal:
$$Fcos\theta = F_{FAT_{max}}$$
$$Fcos\theta = \mu_{e} N$$
Daí, na vertical, temos:
$$N = Fsen\theta + P$$
Logo:
$$Fcos\theta = \mu_{e}(Fsen\theta + P)$$
$$F = \frac{\mu_{e} P}{cos\theta – \mu_{e} sen\theta}$$
b) A força normal de reação será:
$$N = Fsen\theta + P$$
$$N = \frac{\mu_{e} Psen\theta}{cos\theta – \mu_{e} sen\theta} + P$$
$$N = \frac{Pcos\theta}{cos\theta – \mu_{e} sen\theta}$$
a) $$F = \frac{\mu_{e} P}{cos\theta – \mu_{e} sen\theta}$$
b) $$N = \frac{Pcos\theta}{cos\theta – \mu_{e} sen\theta}$$
Questão 06:
Uma partícula é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial $$V_{0}$$ formando um ângulo $$\alpha$$ com a horizontal. Se o ângulo $$\alpha$$ é escolhido tal que o alcance é máximo, calcule a distância $$d$$ entre dois pontos P e Q da trajetória que ficam a uma mesma altura $$h$$.
Cinemática
Na situação de alcance máximo, temos:
$$\alpha=45^{\circ}$$
Daí, escrevendo a equação da trajetória:
$$y=xtg45^{\circ}-\frac{gx^{2}}{2V_{0}^{2}(cos45^{\circ})^{2}}$$
$$h=x-\frac{gx^{2}}{V_{0}^{2}}$$
$$\frac{g}{V_{0}^{2}}x^{2}-x+h=0$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{1-\frac{4gh}{V_{0}^{2}}}}{\frac{2g}{V_{0}^{2}}}$$
Portanto:
$$\Delta x=d=\frac{V_{0}^{2}}{g}\sqrt{1-\frac{4gh}{V_{0}^{2}}}$$
$$d=\frac{V_{0}^{2}}{g}\sqrt{1-\frac{4gh}{V_{0}^{2}}}$$
Questão 07:
A figura 5 representa duas partículas de massas $$m_{1} = 4 kg$$ e $$m_{2} = 6 kg$$ movendo-se em direções opostas, sobre uma superfície plana sem atrito. Elas têm velocidades constantes, cujos módulos são $$V_{1i} = 20 \frac{m}{s}$$ e $$V_{2i} = 10 \frac{m}{s}$$ e colidem. A colisão é frontal e perfeitamente elástica. Calcule as velocidades finais das partículas.
Colisões
Pela conservação da quantidade de movimento, temos:
$$m_{1}V_{1i}-m_{2}V_{2i}=m_{1}V_{1f}+m_{2}V_{2f}$$
Por outro lado, a relação do coeficiente de restituição nos dá:
$$e=\frac{V_{2f}-V_{1f}}{V_{2i}+V_{1i}}=1$$
$$V_{2f}-V_{1f}=V_{2i}+V_{1i}$$
$$V_{1f}=V_{2f}-V_{2i}-V_{1i}$$
Substituindo $$V_{1f}$$ na expressão da conservação da quantidade de movimento, temos:
$$(m_{1}+m_{2})V_{2f}=2m_{1}V_{1i}+(m_{1}-m_{2})V_{2i}$$
$$V_{2f}=\frac{2m_{1}V_{1i}+(m_{1}-m_{2})V_{2i}}{m_{1}+m_{2}}$$
$$V_{2f}=\frac{160+(-2)*10}{10}$$
$$V_{2f} = 14 \frac{m}{s}$$
Logo:
$$14-V_{1f} = 30$$
$$V_{1f} = -16 \frac{m}{s}$$
$$V_{2f} = 14 \frac{m}{s}$$
$$V_{1f} = -16 \frac{m}{s}$$
Questão 08:
Dois satélites de massa $$m$$ se movem em uma mesma órbita circular de raio $$r$$ em torno de um planeta de massa $$M$$, como ilustra a figura 6. Os dois satélites estão sempre em extremidades opostas de um mesmo diâmetro enquanto realizam seu movimento. Calcule o período do movimento orbital.
Gravitação
Sabendo que a resultante centrípeta sobre uma das massas $$m$$ é igual a soma da força de interação gravitacional com a massa $$M$$ e a outra massa $$m$$. Portanto:
$$\frac{mV^{2}}{r}=\frac{GMm}{r^{2}}+\frac{Gm^{2}}{(2r)^{2}}$$
$$\omega^{2}r=\frac{G}{r^{2}}(M+\frac{m}{4})$$
$$\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}=\frac{G}{r^{3}}(M+\frac{m}{4})$$
$$T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G(M+\frac{m}{4})}}$$
$$T=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{G(M+\frac{m}{4})}}$$
Questão 09:
Uma cunha de massa $$M$$ submetida a uma força horizontal $$F$$ (ver figura 7) encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito. Coloca-se um bloco de massa $$m$$ sobre a superfície inclinada da cunha. Se o coeficiente de atrito estático entre as superfícies da cunha e do bloco é $$\mu_{e}$$, encontre os valores máximos e mínimos da força $$F$$ para que o bloco permaneça em repouso sobre a cunha.
Dinâmica
No caso em que a força $$F$$ é mínima, a força de atrito que age no bloco $$m$$ possui a mesma direção do plano, como sentido para cima. Logo, a Segunda Lei de Newton para a cunha pode ser escrita como:
$$F + F_{at}cos\theta – Nsen\theta = Ma$$
Por outro lado, podemos escrever para o bloco:
$$F_{at}sen\theta + Ncos\theta = mg$$
$$Nsen\theta – F_{at}cos\theta = ma$$
Daí, dividindo uma pela outra:
$$\frac{a}{g} = \frac{sen\theta – \mu_{e}cos\theta}{\mu_{e}sen\theta + cos\theta}$$
$$a = g\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1}$$
Além disso, da primeira equação, depreende-se que:
$$N = \frac{mg}{\mu_{e}sen\theta + cos\theta}$$
Logo:
$$F + F_{at}cos\theta – Nsen\theta = Ma$$
$$F = Ma + N(sen\theta – \mu_{e}cos\theta)$$
$$F = Mg\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1} + mg\frac{sen\theta – \mu_{e}cos\theta}{\mu_{e}sen\theta + cos\theta}$$
$$F = Mg\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1} + mg\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1}$$
$$F = (M + m)g\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1}$$
Agora, no caso em $$F$$ é máxima, temos que a força de atrito sobre o bloco terá sentido oposto ao do caso anterior, ou seja, o bloco estará na iminência de subir o plano; logo, reescrevendo a Segunda Lei de Newton para a cunha:
$$F – F_{at}cos\theta – Nsen\theta = Ma$$
Por outro lado, temos, para o bloco:
$$-F_{at}sen\theta + Ncos\theta = mg$$
$$Nsen\theta + F_{at}cos\theta = ma$$
Da primeira equação, temos:
$$N = \frac{mg}{cos\theta – \mu_{e}sen\theta}$$
Da segunda equação, temos:
$$ma = mg\frac{sen\theta + \mu_{e}cos\theta}{cos\theta – \mu_{e}sen\theta}$$
$$a = g\frac{tg\theta + \mu_{e}}{1 – \mu_{e}tg\theta}$$
Portanto:
$$F = Ma + N(sen\theta + \mu_{e}cos\theta)$$
$$F = Mg\frac{tg\theta +\mu_{e}}{1 – \mu_{e}tg\theta} + mg\frac{tg\theta + \mu_{e}}{1 – \mu_{e}tg\theta}$$
$$F = (M + m)g\frac{tg\theta + \mu_{e}}{1 – \mu_{e}tg\theta}$$
$$F_{min} = (M + m)g\frac{tg\theta – \mu_{e}}{\mu_{e}tg\theta + 1}$$
$$F_{max} = (M + m)g\frac{tg\theta + \mu_{e}}{1 – \mu_{e}tg\theta}$$
Questão 10:
Um gato de $$5,0$$ $$kg$$ e uma tigela de $$2,0$$ $$kg$$ de atum estão em posições opostas de uma gangorra de $$4,0$$ $$m$$ de comprimento e massa negligenciável. Um segundo gato de $$4,0$$ $$kg$$ é posicionado a uma distância $$d$$ à esquerda do ponto de apoio como ilustrado na figura 8. Calcule a distância $$d$$ de modo a que o sistema atinja o equilíbrio estático.
Torque
Para que a gangorra esteja em equilíbrio, o somatório dos torques deve ser nulo. Logo:
$$m_{gato1}g\frac{L}{2} = m_{gato2}gd + m_{tigela}g\frac{L}{2}$$
$$m_{gato2}d = (m_{gato1} – m_{tigela})\frac{L}{2}$$
$$d = \frac{(m_{gato1} – m_{tigela})}{2m_{gato2}}L$$
$$d = \frac{2*3}{4} = 1,5 m$$
$$d = 1,5 m$$
Questão 11:
A força necessária para comprimir ou distender uma mola com constante de rigidez elástica $$k$$ é dada por $$F = -kx$$. Esta é a lei de Hooke. O trabalho realizado pela força aplicada a mola para promover uma deformação $$x$$ na mesma é dada por $$W = \frac{1}{2}kx^{2}$$. A mola da figura 9 é comprimida em $$\Delta x$$ . Ela lança o bloco com velocidade $$V_{0}$$ ao longo de uma superfície livre de atrito. As duas molas da figura 9b são idênticas à mola da figura 9a. Elas são comprimidas no mesmo valor $$\Delta x$$ e são usadas para lançar o mesmo bloco.
a) Determine a constante de elasticidade $$k^{‘}$$ da mola equivalente ao conjunto de molas
b) Qual será, agora, o módulo da velocidade do bloco, para a configuração $$b)$$?
Dinâmica e Energia
a) Como as molas estão associadas em paralelo, podemos substituí-la por uma mola equivalente, de tal forma que sua constante $$k^{‘}$$ seria:
$$k^{‘}\Delta x = 2k\Delta x$$
$$k^{‘} = 2k$$
b) Conservando a energia do sistema:
$$\frac{1}{2}mV^{2} = \frac{1}{2}k^{‘}(\Delta x)^{2}$$
$$\frac{1}{2}mV^{2} = \frac{1}{2}2k(\Delta x)^{2}$$
Por outro lado:
$$\frac{1}{2}mV_{0}^{2} = \frac{1}{2}k(\Delta x)^{2}$$
Daí:
$$V^{2} = 2V_{0}^{2}$$
$$V = \sqrt{2} V_{0}$$
a) $$k^{‘} = 2k$$
b) $$V = \sqrt{2} V_{0}$$
Questão 12:
Durante uma transformação termodinâmica um gás ideal monoatômico segue o seguinte processo 1→2→3, conforme mostra a Figura 10.
a) Quanto calor é necessário durante o processo 1→2?
b) E durante o processo 2→3?
Termodinâmica
a) Pela Primeira Lei da Termodinâmica, temos:
$$\Delta U_{1-2} = Q_{1-2} – W_{1-2}$$
$$Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + W_{1-2}$$
Porém, temos que $$\Delta U_{1-2}$$ é:
$$\Delta U_{1-2} = \frac{3}{2}(p_{2}V_{2} – p_{1}V_{1})$$
$$\Delta U_{1-2} = \frac{3}{2}(900 – 300)*10^{-1}$$
$$\Delta U_{1-2} = 90 J$$
E pelo gráfico, temos que o trabalho $$W_{1-2}$$ será:
$$W_{1-2} = [AREA] = 3*10^{5}*200*10^{-6} = 60 J$$
Portanto:
$$Q_{1-2} = 90 + 60 = 150 J$$
b) Da mesma forma:
$$Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + W_{2-3}$$
Como a transformação é isocórica ($$W_{2-3} = 0$$), temos:
$$Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} = \frac{3}{2}(p_{2}V_{2} – p_{1}V_{1})$$
$$Q_{2-3} = \frac{3}{2}(300 – 900)*10^{-1}$$
$$Q_{2-3} = -90 J$$
a) $$Q_{1-2} = 150 J$$
b) $$Q_{2-3} = -90 J$$
Questão 13:
Uma máquina fotográfica possui uma lente com distância focal igual a $$35,0$$ $$mm$$ e o filme possui largura igual a $$36,0$$ $$mm$$. Ao fotografar um veleiro com $$12,0$$ $$m$$ de comprimento verifica-se que a imagem do veleiro abrange somente um quarto da largura do filme. Calcule:
a) a distância entre o fotógrafo e o veleiro.
b) a distância que o fotógrafo deve mover-se a partir da posição do item a) para que a imagem do veleiro preencha totalmente a largura do filme.
Óptica
a) Pela equação de Gauss:
$$\frac{1}{p} + \frac{1}{p^{‘}} = \frac{1}{f}$$
Já a relação do aumento linear transversal nos dá:
$$\frac{i}{o} = -\frac{p^{‘}}{p}$$
Logo:
$$\frac{1}{p} – \frac{\frac{o}{i}}{p} = \frac{1}{f}$$
$$\frac{1}{p}(1 – \frac{o}{i}) = \frac{1}{f}$$
$$p = f(1 – \frac{o}{i})$$
Por outro lado, a questão nos dá que:
$$\frac{o}{i} = -\frac{12}{\frac{36*10^{-3}}{4}}$$
$$\frac{o}{i}= -\frac{4000}{3}$$
Daí:
$$p = 35,0*(1 + \frac{4000}{3})$$
$$p \approx 46,7 m$$
b) Com isso, a razão $$\frac{o}{i}$$ é modificada, de tal forma que, agora:
$$\frac{o}{i} = -\frac{12}{36*10^{-3}}$$
$$\frac{o}{i} = -\frac{1000}{3}$$
Logo:
$$p = 35,0*(1 + \frac{1000}{3})$$
$$p \approx 11,7 m$$
Portanto, o deslocamento do fotógrafo será de:
$$\Delta p = 46,7 – 11,7 = 35,0 m$$
a) $$p \approx 46,7 m$$
b) $$\Delta p = 35,0 m$$
Questão 14:
Um cone de base circular de densidade $$\rho_{c}$$ e altura $$H$$ flutua em um líquido de densidade $$\rho_{l}$$. A parte do cone acima do líquido tem altura $$h$$, como mostra a figura 11. Determine a altura $$h$$.
Hidrostática
Pelo equilíbrio das forças:
$$E = mg$$
$$\rho_{l}(\frac{1}{3}AH – \frac{1}{3}ah)g = \rho_{c}(\frac{1}{3}AH)g$$
$$\rho_{l}(AH – ah) = \rho_{c}AH$$
Por outro lado, a semelhança entre o cone original e aquele originado a partir da retirada do tronco imerso na água nos dá:
$$\frac{a}{A} = (\frac{h}{H})^{2}$$
$$a = A(\frac{h}{H})^{2}$$
Logo:
$$\rho_{l}(AH – A\frac{h^{3}}{H^{2}}) = \rho_{c}AH$$
$$\rho_{l}AH(1 – (\frac{h}{H})^{3}) = \rho_{c}AH$$
$$(\frac{h}{H})^{3} = 1 – \frac{\rho_{c}}{\rho_{l}}$$
$$h = H(1 – \frac{\rho_{c}}{\rho_{l}})^{\frac{1}{3}}$$
$$h = H(1 – \frac{\rho_{c}}{\rho_{l}})^{\frac{1}{3}}$$
Questão 15:
Uma caixa isolante é dividida em duas partes A e B com volumes constantes por uma parede que não deixa passar calor de um lado para o outro da caixa. Na parte A existe um gás monoatômico de uma determinada substância com $$n_{1}$$ moles a uma temperatura $$T_{1i}$$. No lado B, o número de moles da mesma substância é $$n_{2}$$ a uma temperatura $$T_{2i}$$, como mostra a figura 12. Em um dado momento, por algum mecanismo, é permitido fluir calor de um lado da caixa para o outro sem que o volume de cada lado mude. Em uma situação final de equilíbrio termodinâmico, calcule:
a) A temperatura de equilíbrio entre os dois sistemas A e B
b) A energia final no lado A em função da energia total
c) A energia final do lado B em função da energia total.
Termodinâmica
a) Conservando a energia do sistema:
$$\Delta U_{1} + \Delta U_{2} = 0$$
$$n_{1}C{V}(T_{eq} – T_{1i}) + n_{2}C_{V}(T_{eq} – T_{2i}) = 0$$
$$(n_{1} + n_{2})T_{eq} = n_{1}T_{1i} + n_{2}T_{2i}$$
$$T_{eq} = \frac{n_{1}T_{1i} + n_{2}T_{2i}}{n_{1} + n_{2}}$$
b) A energia final do lado A será então:
$$U_{A} = n_{1}C_{V}T_{eq} = \frac{n_{1}C_{V}(n_{1}T_{1i} + n_{2}T_{2i})}{n_{1} + n_{2}}$$
Por outro lado, a energia total será:
$$U_{total} = U_{A} + U_{B}$$
$$U_{total} = C_{V}(n_{1}T_{1i} + n_{2}T_{2i})$$
Portanto:
$$\frac{U_{A}}{U_{total}} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}$$
$$U_{A} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}U_{total}$$
c) Novamente, como:
$$U_{total} = U_{A} + U_{B}$$
Daí:
$$\frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}U_{total} + U_{B} = U_{total}$$
$$U_{B} = \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}U_{total}$$
a) $$T_{eq} = \frac{n_{1}T_{1i} + n_{2}T_{2i}}{n_{1} + n_{2}}$$
b) $$U_{A} = \frac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}}U_{total}$$
c) $$U_{B} = \frac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}U_{total}$$
Questão 16:
Dois caçadores estão em um labirinto formado por três espelhos e cada um vê o outro através da geometria de espelhos planos mostrados na figura 13. Calcule o ângulo $$\theta$$ especificado na figura.
Óptica
Prolongando a reta normal no ponto de incidência da luz no espelho inclinado em relação a vertical até o espelho vertical, temos que o menor ângulo formado por essa reta e o espelho vertical será $$75^{\circ}$$, já que o espelho inclinado tem um desvio de $$15^{\circ}$$ da vertical. Por outro lado, pela Lei da Reflexão, o ângulo entre a normal e o raio refletido também será $$\theta$$. Agora, por fim, traçando as retas normais no segundo e no terceiro ponto de reflexão, será formado um triângulo retângulo que nos dará que o ângulo de incidência na segunda reflexão será $$35^{\circ}$$, já que na terceira esse ângulo é $$55^{\circ}$$. Com isso, achamos que o ângulo formado pelo raio incidente na segunda reflexão faz $$55^{\circ}$$ com o espelho vertical, e, de posse de todas as informações dadas até aqui, podemos pegar o triângulo formado pelo espelho vertical, raio incidente da segunda reflexão e reta normal da primeira reflexão, escrevendo a relação para o ângulo externo:
$$75^{\circ} = 55^{\circ} + \theta$$
$$\theta = 20^{\circ}$$
$$\theta = 20^{\circ}$$
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