Escrita por Levy Bruno Batista
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Questão 01:
a) Um aro circular de raio $$R$$ e massa $$m$$ uniformemente distribuída, rola sem deslizar, em movimento uniforme, sobre um plano horizontal, como mostra a figura 1.
Considerando que o movimento do aro pode ser descrito pela composição do movimento retilíneo uniforme do seu centro de massa combinado com um movimento de rotação uniforme em relação a este mesmo ponto, determine, em função de $$m$$ e $$V$$, a energia cinética total do aro.
b) Com dois aros idênticos ao do item anterior e uma haste rígida de comprimento $$L$$ e massa desprezível, construiu-se um carretel cujo esboço é apresentado abaixo na figura 2. Os raios que dão sustentação à haste, ligando-a rigidamente aos aros não foram apresentados e suas massas são desprezíveis, também. Considere que o carretel encontra-se, inicialmente, em movimento uniforme com velocidade $$V$$ sobre um plano horizontal e após um certo tempo começa a subir um plano inclinado. A figura 3 mostra um corte transversal dos planos e do carretel.
Determine a altura máxima que a haste atinge em relação ao plano horizontal, quando o carretel atinge velocidade nula. Determine também a desaceleração sofrida pelo carretel durante a subida. Expresse seus resultados em função de variáveis escolhidas dentre as grandezas $$m, V, R, L$$ e $$g$$ (aceleração da gravidade).
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Dinâmica do corpo rígido[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) A energia cinética total de um corpo rígido (extenso) é dada pela soma das energias de translação do centro de massa e de rotação. Portanto:
$$E_{cin}=E_{transl}+E_{rot}$$
$$E_{cin}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{I\omega^{2}}{2}$$
$$E_{cin}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{(mR^{2})\omega^{2}}{2}$$
$$E_{cin}=2\frac{mV^{2}}{2}$$
$$E_{cin}=mV^{2}$$
b) Conservando a energia do carretel, desde o ponto em que este inicia a subida no plano até o momento que para:
$$2E_{cin}+2mgR=2mgH$$
$$2mV^{2}+2mgR=2mgH$$
$$H=R+\frac{V^{2}}{g}$$
Por outro lado, para acharmos a desaceleração do carretel, existe duas principais formas de proceder: por Dinâmica, esquematizando todas as forças que agem no sistema, ou por Energia, que é a forma da qual iremos fazer a solução. Portanto, considerando que em um instante qualquer da subida, a velocidade da carretel seja $$v$$ e este esteja a uma altura $$h$$ do solo, temos:
$$E_{tot}=2mv^{2}+2mgh=2mV^{2}+2mgR$$
Derivando em relação ao tempo a equação acima, considerando que $$\frac{dE_{tot}}{dt}=0$$ (conservação de energia):
$$0=4mv\frac{dv}{dt}+2mg\frac{dh}{dt}$$
$$2va+gvsen(\alpha)=0$$
$$a=-\frac{gsen(\alpha)}{2}$$
Onde $$\alpha$$ é o ângulo de inclinação do plano em relação a horizontal (apesar de não ser uma variável dada no enunciado, o valor da desaceleração depende de $$\alpha$$). Observe também que as variáveis $$m$$ e $$L$$ não foram utilizadas.
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$E_{cin}=mV^{2}$$
b) $$H=R+\frac{V^{2}}{g}$$
$$a=-\frac{gsen(\alpha)}{2}$$
[/spoiler]
Questão 02:
Uma pequena esfera metálica de massa $$m$$ foi abandonada juntamente com uma bola de borracha de massa $$M$$, esférica, de raio $$R$$, conforme a figura 4.
A massa $$M$$ é muito menor que $$m$$ e o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha. Considerando que: os movimentos dos centros de massa da esferinha e da bola estão sempre na mesma vertical; o sistema se choca contra o solo e todos os choques envolvidos são perfeitamente elásticos; a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha; é desprezível a resistência do ar em questão, determine:
a) A velocidade aproximada com que a esferinha se separa da bola na subida.
b) A distância vertical percorrida pela esferinha na subida em função da distância percorrida pela mesma, na descida.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Colisões[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Quando $$M$$ se choca com o solo, sua velocidade inverte o sentido, sem alterar o módulo. considerando que essa velocidade seja $$V$$, e que as velocidades de $$m$$ e $$M$$ após a colisão sejam, respectivamente, $$V_{1}$$ e $$V_{2}$$, temos:
Conservação do momento linear
$$MV-mV=mV_{1}+MV_{2}$$
Por outro lado, como a colisão é elástica, temos $$e=1$$:
$$e=\frac{V_{1}-V_{2}}{2V}=1$$
$$V_{2}=V_{1}-2V$$
Substituindo essa relação na expressão da conservação do momento linear:
$$MV-mV=mV_{1}+M(V_{1}-2V)$$
$$(m+M)V_{1}=(3M-m)V$$
$$V_{1}=\frac{3M-m}{m+M}V$$
Considerando que $$M>>>m$$:
$$V_{1}\approx 3V$$
b) Tomando $$H$$ como a altura que a esferinha sobe após a colisão e $$h$$ como a altura que ela despenca antes da colisão, temos:
$$V_{1}=\sqrt{2gH}$$
$$V=\sqrt{2gh}$$
Daí:
$$H=9h$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$V_{1}=\frac{3M-m}{m+M}V\approx 3V$$
b) $$H=9h$$
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Questão 03:
A figura 5 mostra uma célula unitária cúbica de um cristal de cloreto de sódio, com aresta $$a = 5,6*10^{-10} m$$.
a) Determine a densidade volumétrica de carga elétrica positiva, em $$\frac{C}{cm^{3}}$$, devida ao íon Na+, lembrando que a carga elementar é $$1,6*10^{-19} C$$.
b) Considere duas cargas puntiformes de mesmo módulo, uma positiva e outra negativa, separadas por $$0,5 cm$$, inicialmente em repouso. O módulo de cada carga é igual a quantidade de carga contida em um $$cm^{3}$$ na resposta do item anterior. Determine a energia necessária para separar estas cargas a uma distância infinita.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Eletrostática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Pela figura 5, note que há 13 íons sódio (bolinhas vermelhas) em um cristal cúbico de lado $$a$$. Portanto:
$$\rho=\frac{13*1,6*10^{-19}}{(5,6*10^{-8})^{3}}$$
$$\rho=1,2*10^{4} \frac{C}{cm^{3}}$$
b) A energia necessária é igual a diferença de energia das configurações final e inicial do sistema. Logo:
$$E=0-\frac{Kq(-q)}{d}$$
$$E=\frac{Kq^{2}}{d}$$
Lembrando que $$q=\rho_V=1,2*10^{4} C$$
$$E=\frac{9*10^{9}*(1,2*10^{4})^{2}}{5*10^{-3}}$$
$$E=2,6*10^{20}\approx 3*10^{20} J$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$\rho=1,2*10^{4} \frac{C}{cm^{3}}$$
b) $$E=2,6*10^{20}\approx 3*10^{20} J$$
[/spoiler]
Questão 04:
Duas placas condutoras, planas, paralelas, quadradas de lado $$d$$, separadas por uma distancia $$a$$ muito menor que $$d$$, estão dispostas isoladamente formando um capacitor plano. Uma das placas é aterrada e a outra é ligada por fio condutor a uma esfera condutora de raio $$R$$. A figura 6 mostra um esboço desse sistema.
Uma carga elétrica $$Q$$, positiva, foi colocada na placa superior do capacitor. Na situação de equilíbrio eletrostático, considere o meio entre as placas como sendo o vácuo, que os efeitos de borda são desprezíveis, bem como a intensidade do campo elétrico de um elemento (esfera, capacitor ou terra) sobre qualquer outro. Determine:
a) A fração de $$Q$$ que permanece na placa superior.
b) A intensidade do campo elétrico a uma distância $$2R$$ do centro da esfera. Expresse seus resultados como função das grandezas citadas no enunciado e constantes universais quando for o caso.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Eletrostática[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Na situação de equilíbrio eletrostático, o potencial da esfera deve ser o mesmo da placa superior do capacitor, a qual está conectada à esfera por um fio condutor, havendo, portanto, uma transferência de carga por este e, consequentemente, uma indução de carga na placa aterrada. Logo, tomando como $$Q_{1}$$ a carga na esfera e $$Q_{2}$$ a carga na placa na situação de equilíbrio, temos:
$$\frac{KQ_{1}}{R}=\frac{Q_{2}}{C}$$
Porém $$K=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$$, $$C=\frac{\varepsilon_{0}d^{2}}{a}$$. Ou seja:
$$\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q_{2}a}{\varepsilon_{0}d^{2}}$$
$$Q_{1}=\frac{4\pi Ra}{d^{2}}Q_{2}$$
E como $$Q_{1}+Q_{2}=Q$$:
$$\frac{Q_{2}}{Q}=\frac{1}{1+\frac{4\pi Ra}{d^{2}}}$$
b) Pela definição de campo elétrico:
$$E=\frac{KQ_{1}}{(2R)^{2}}$$
Por outro lado, pelo item anterior, temos:
$$Q_{1}=\frac{4\pi Ra}{d^{2}+4\pi Ra}Q$$
Daí:
$$E=\frac{aQ}{4\varepsilon_{0}R(d^{2}+4\pi Ra)}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$\frac{Q_{2}}{Q}=\frac{1}{1+\frac{4\pi Ra}{d^{2}}}$$
b) $$E=\frac{aQ}{4\varepsilon_{0}R(d^{2}+4\pi Ra)}$$
[/spoiler]
Questão 05:
Um fóton de freqüência $$f$$ possui uma massa inercial efetiva $$m= energia/c$$ , onde $$c$$ é a velocidade da luz. Um fóton emitido na superfície de uma estrela quando escapa do campo gravitacional perde energia diminuindo sua freqüência, considerando que massa inercial é igual a massa gravitacional. Levando em conta a variação de energia potencial gravitacional do sistema estrela-fóton, determine uma expressão para a variação relativa da freqüência do fóton ao abandonar a estrela, $$\Delta f/f$$, em função de $$M, R, G$$ e $$c$$, onde $$M$$ e $$R$$ são, respectivamente, a massa e o raio da estrela, e $$G$$ a constante de gravitação universal.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Energia, Noções de Física Moderna[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Na superfície da estrela, a energia é:
$$E_{0}=-\frac{GMm}{R}+hf$$
E, como $$m=\frac{hf}{c^{2}}$$, temos:
$$E_{0}=-\frac{GMhf}{Rc^{2}}+hf$$
$$E_{0}=hf(1-\frac{GM}{Rc^{2}})$$
Porém, quando o fóton escapar da influência da estrela, sua energia será:
$$E=hf’$$
Conservando a energia:
$$E_{0}=E$$
$$f’=f(1-\frac{GM}{Rc^{2}}$$
$$f-f’=\frac{GM}{Rc^{2}}f$$
$$\frac{\Delta f}{f}=\frac{GM}{Rc^{2}}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\frac{\Delta f}{f}=\frac{GM}{Rc^{2}}$$
[/spoiler]
Questão 06:
A figura abaixo mostra duas placas homogêneas de faces paralelas, que servem como meio condutor de calor entre dois reservatórios térmicos de temperaturas $$T_{1} = 100 ^{o}C$$ e $$T_{2} =200 ^{o}C$$. As superfícies das placas transversais ao fluxo possuem áreas iguais a $$A$$. Além disso, as placas têm espessuras $$e_{1}$$ e $$e_{2}$$ e são compostas por materiais de condutibilidade térmica $$k_{1}$$ e $$k_{2}$$, respectivamente.
a) Determine o perfil de temperatura T(x), no interior das placas, considerando o regime de condução estacionário, $$e_{2}=2e_{1}$$ e $$k_{2}=3k_{1}$$.
b) Na engenharia é comum introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a Lei de Fourier. A temperatura é vista como uma função potencial, para o fluxo de calor e a equação de Fourier assume a forma fluxo de calor= (diferença de potencial térmico)/(resistência térmica), que é semelhante a lei de Ohm na teoria dos circuitos elétricos. Defina, convenientemente, o que é resistência térmica neste contexto e determine a resistência térmica equivalente do sistema apresentado no item anterior.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Condução de calor[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) O fluxo de calor $$\phi$$ é o mesmo para as duas partes da placa. Logo
$$\phi=\frac{k_{1}S(T_{2}-T’)}{e_{1}}=\frac{k_{2}S(T’-T_{1})}{e_{2}}$$
$$\frac{k_{1}(T_{2}-T’)}{e_{1}}=\frac{3k_{1}(T’-T_{1})}{2e_{1}}$$
$$\frac{5}{2}T’=T_{2}+\frac{3}{2}T_{1}$$
Ou seja:
$$T’=\frac{2}{5}T_{2}+\frac{3}{5}T_{1}=140 ^{o}C$$
Daí, T(x) é composto por duas funções distintas, uma pra cada região da placa. Logo:
$$\phi=\frac{k_{1}S(T_{2}-T(x))}{x}$$
$$T(x)=-\frac{\phi}{k_{1}S}x+T_{2}$$ $$(0\leq x\leq e_{1})$$
Da mesma forma:
$$\phi=\frac{3k_{1}S(T’-T(x))}{x-e_{1}}$$
$$T(x)=-\frac{\phi}{3k_{1}S}(x-e_{1})+T’$$ $$(e_{1}\leq x\leq 3e_{1})$$
b) Resistência térmica é a capacidade que o aparato tem de barrar, ou seja, “resistir” a passagem de fluxo de calor. A resistência térmica equivalente é, por definição:
$$R_{T}=\frac{\Delta T}{\phi}$$
E como:
$$\Delta T_{1}=\frac{\phi e_{1}}{k_{1}S}$$
$$\Delta T_{2}=\frac{2\phi e_{1}}{3k_{1}S}$$
Logo:
$$\Delta T=\Delta T_{1}+\Delta T_{2}$$
$$\Delta T=\frac{\phi}{S}(\frac{e_{1}}{k_{1}}+\frac{2e_{1}}{3k_{1}})$$
$$\frac{\Delta T}{\phi}=R_{T}=\frac{5e_{1}}{3k_{1}S}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$T(x)=-\frac{\phi}{k_{1}S}x+T_{2}$$ $$(0\leq x\leq e_{1})$$
$$T(x)=-\frac{\phi}{3k_{1}S}(x-e_{1})+T’$$ $$(e_{1}\leq x\leq 3e_{1})$$
$$T’=140 ^{o}C$$
b) Explicação sobre resistência térmica na Solução.
$$R_{T}=\frac{5e_{1}}{3k_{1}S}$$
[/spoiler]
Questão 07:
Um objeto luminoso e uma tela de projeção estão situados a uma distância $$L$$ um do outro. Uma lente convergente de distância focal $$f$$ menor que $$\frac{L}{4}$$ é colocada entre a tela e o objeto de tal forma que a imagem do objeto é projetada na tela. Verifique que existem duas posições possíveis para a lente, separadas por uma distância $$a$$.
a) Determine a em função de $$L$$ e $$f$$.
b) Determine a razão entre os aumentos lineares transversais correspondentes às duas posições possíveis para a lente, em função de $$L$$ e $$a$$.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Óptica geométrica[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) Aplicando a Equação de Gauss, tendo em mente que $$p+p’=L$$:
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p’}$$
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{L-p}$$
$$fL=p(L-p)$$
$$p^{2}-Lp+fL=0$$
$$\Delta p=a=\frac{2\sqrt{L^{2}-4fL}}{2}$$
$$a=L\sqrt{1-4\frac{f}{L}}$$
b) Da equação do segundo grau do item anterior, temos:
$$p_{1}=\frac{L}{2}(1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}})$$
$$p’_{1}=\frac{L}{2}(1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}})$$
Por outro lado, as posições do objeto e da imagem na segunda configuração possível serão, respectivamente:
$$p_{2}=p’_{1}$$
$$p’_{2}=p_{1}$$
Daí, aplicando a definição de aumento linear transversal, isto é, $$A=-\frac{p’}{p}$$:
$$\frac{A_{2}}{A_{1}}={\frac{p_{1}}{p’_{1}}}^{2}$$
$$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\bigg( \frac{1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}}}{1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}}} \bigg)^{2}$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
a) $$a=L\sqrt{1-4\frac{f}{L}}$$
b) $$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\bigg( \frac{1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}}}{1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}}} \bigg)^{2}$$
[/spoiler]
Questão 08:
Uma bolha de sabão de índice de refração $$n=1,33$$ é iluminada com luz de comprimento de onda de $$600$$ $$nm$$. Considerando o caso de incidência normal, determine as três menores espessuras para que os feixes refletidos sofram interferência construtiva.
[spoiler title=’Assunto abordado’ style=’default’ collapse_link=’true’]Óptica física[/spoiler]
[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Suponha dois raios, 1 e 2, tal que o raio 1 atravessa a película de sabão e é refletido na segunda interface de separação sabão-ar, voltando para o ar e interferindo com o raio 2, que incide sobre a primeira interface de separação sabão-ar. Sabendo que $$n_{sabão}>n_{ar}$$, o raio 1 não sofre inversão de fase, logo, a condição para interferência construtiva é:
$$\Delta \phi=2m\pi$$
$$K2e=2m\pi$$
$$\frac{2\pi}{\lambda}2e=2\pi m$$
$$e=m\frac{\lambda}{2}$$
Portanto, as 3 menores espessuras são:
$$e=\frac{\lambda}{2}=300 nm$$
$$e=\lambda=600 nm$$
$$e=3\frac{\lambda}{2}=900 nm$$
[/spoiler]
[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$e=\frac{\lambda}{2}=300 nm$$
$$e=\lambda=600 nm$$
$$e=3\frac{\lambda}{2}=900 nm$$
[/spoiler]
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