Escrito por João G. Pepato
Problema 01*
Ao cobrar uma falta em um jogo de futebol, um jogador imprime à bola uma velocidade de $$43,2\frac{km}{h}$$. Sabendo que a bola gasta $$3s$$ até atingir as redes, determine a distância percorrida.
Como esse movimento é um MRU, usaremos a função horária do espaço do MRU: $$\Delta s=v_0t$$
Antes de fazer as contas, é importante nos atentarmos que a velocidade está em $$\frac{Km}{h}$$ e convertê-la para $$\frac{m}{s}$$:
$$42,6\frac{Km}{h}=\frac{42,6}{3,6}\frac{m}{s}=12\frac{m}{s}$$
Substituindo os valores de $$v_0$$ e de $$t$$ na função horária do espaço do MRU, temos que $$\Delta S=12*3=36m$$
$$\Delta S=36m$$
Problema 02*
Um motociclista entra em um túnel a $$26\frac{m}{s}$$. A partir desse instante, ele desacelera uniformemente a $$2\frac{m}{s^2}$$, chegando ao fim do túnel com velocidade de $$10\frac{m}{s}$$. Quanto tempo o motociclista levou para atravessar o túnel?
Para resolver esse exercício, usaremos a função horária da velocidade para o MRUV: $$\Delta v=at$$
A velocidade inicial ($$v_i$$) é $$26\frac{m}{s}$$, e a velocidade final ($$v_f$$) é $$10\frac{m}{s}$$. Assim, variação de velocidade é $$\Delta v=v_f-v_i=16\frac{m}{s}$$.
Substituindo os valores da varição de velocidade e da aceleração na funçaõ horária da velocidade para o MRUV, temos que $$16=2t$$, o que implica $$t=8s$$.
$$t=8s$$
Problema 03*
A posição de um móvel, em movimento uniforme, varia com o tempo conforme a tabela a seguir.
Qual é a equação horária desse movimento?
O móvel está em movimento uniforme, então a função horária do movimento é dada por:
$$s=s_0+vt$$
$$s_0$$ é a posição do móvel quando $$t=0$$. Na tabela, vemos que $$s_0=25m$$.
Como a velocidade é constante, podemos escolher dois instantes quaisquer para calculá-la. Escolhendo os instantes $$t=1$$ e $$t=2$$ temos:
$$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{17-21}{2-1}=-4\frac{m}{s}$$
Assim, a função horária do movimento é:
$$s=25-4t$$
$$s=25-4t$$
Problema 04*
Um móvel parte do repouso e desenvolve uma aceleração constante de $$3\frac{m}{s^2}$$ durante $$4$$ segundos. Qual foi o deslocamento desse móvel?
A função horária do MRUV é $$\Delta s=v_0t+\frac{at^2}{2}$$.
Como o móvel parte do repouso, a velocidade inicial é $$v_0=0$$.
Segundo o enunciado, $$a=3\frac{m}{s^2}$$ e $$t=4$$, então
$$\Delta s=0*4+\frac{3*4^2}{2}=24m$$
$$\Delta s=24m$$
Problema 05*
Um ônibus que tem um comprimento de 10m e uma velocidade de $$11\frac{m}{s}$$ passa por um túnel de 100m de comprimento. Quanto tempo o ônibus leva para atravessar o túnel?
Nesse exercício, o corpo estudado é um corpo extenso: temos que levar em considerção o seu comprimento.
O momento em que o ônibus adentra o túnel é quando a sua dianteira entra no túnel.
O momento em que o ônibus sai do túnel é quando a sua traseira sai do túnel – nesse momento, a dianteira do ônibus já está a $$10m$$ (comprimento do ônibus) da saída do túnel, então o $$\Delta s$$ é o comprimento do túnel + comprimento do ônibus, que é igual a $$100+10=110$$.
Agora, basta usarmos a função horária do espaço para o MRU:
$$\Delta s=vt\rightarrow 110=11t \rightarrow t=10s$$
$$t=10 s$$
Problema 06*
a) O gráfico a seguir representa a posição de uma partícula em função do tempo. Calcule a velocidade da partícula em cada trecho do movimento (1,2,3) e a velocidade média do trajeto como um todo.
A velocidade em um instante $$t$$ é a numericamente igual à inclinação da função nesse instante.
No trecho 1 $$(0<t<8)$$, a inclinação da reta é $$tg(\theta)=\frac{14-2}{8-0}=1,5$$. Assim, a velocidade é $$1,5\frac{m}{s}$$
No trecho 2 $$(8<t<24)$$, a inclinação da reta é $$tg(\theta)=\frac{10-14}{24-8}=-0,25$$. Assim, a velocidade é $$-0,25\frac{m}{s}$$
No trecho 3 $$(24<t<32)$$, a inclinação da reta é $$tg(\theta)=\frac{18-10}{32-24}=1$$. Assim, a velocidade é $$1\frac{m}{s}$$
A distância total percorrida pela partícula foi $$s_f-s_i=18-2=16m$$, e o tempo decorrido foi $$t_f-t_i=32-0=32s$$. Assim, a velocidade média é $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$$
$$v_1=1,5\frac{m}{s}$$, $$v_2=-0,25\frac{m}{s}$$, $$v_3=1\frac{m}{s}$$, $$v_m=0,5\frac{m}{s}$$
Problema 07*
Questão Iniciante Semana 15 – Solução
Um ponto atravessou metade da distância com velocidade $$v_0$$. O restante foi coberto com velocidade $$v_1$$ pela metade do tempo, e com velocidade $$v_2$$ pela outra metade. Ache a velocidade média do ponto.
Solução por João Guilherme Araújo
Temos que se o espaço total é $$s$$:
$$!\frac{s}{2} = v_0 \cdot t_0 \text{ e } \frac{s}{2} = v_1t_1 + v_2t_2 = t_1(v_1 + v_2)$$
Assim, como $$v_m = \frac{\Delta s}{t}$$, temos:
$$!v_m = \frac{s}{t_0 + 2t_1} = \frac{s}{\frac{s}{2v_0} + \frac{s}{v_1 + v_2}}$$
$$!v_m = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{2v_0 + v_1 + v_2}$$
$$!v_m = \frac{2v_0(v_1 + v_2)}{2v_0 + v_1 + v_2}$$
Problema 08*
Questão Iniciante Semana 3 – Solução
Calcule a condição para que um corpo se movendo com velocidade constante $$v$$, que começou a se mover $$\Delta t$$ após um corpo acelerado de aceleração $$a$$, do mesmo espaço inicial, ainda alcance esse corpo.
Solução por João Guilherme Araújo
Podemos ver que se o segundo corpo não alcançar o primeiro antes da velocidade do primeiro se tornar igual a sua a distância entre tornará a aumentar e o feito será impossível. Assim podemos olhar para o caso limite, onde eles se encontram no momento que as velocidades se igualam. Portanto: $$! t = \frac{v}{a} $$ onde $$t$$ é o tempo de encontro.
No encontro podemos igualar os espaços, assim:
$$! v(t – \Delta t) = \frac{at^2}{2} \Rightarrow v\Delta t = vt – \frac{at^2}{2} =\frac{v^2}{a} -\frac{v^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}\Rightarrow 2a\Delta t = v$$
Como estamos lidando com um caso limite, vemos que se v for maior que $$2a\Delta t$$ também ocorrerá encontro, portanto a condição que queremos é $$v \geq 2a\Delta t$$
$$v \geq 2a\Delta t$$
Problema 09**
Questão Iniciante Semana 13 – Solução
O trem I desloca-se em linha reta, com velocidade constante de 54 km/h, aproximando-se do ponto B, como mostra a figura. Determine quanto tempo após a locomotiva do trem I atingir o ponto A, deve o trem II partir do repouso em C, com aceleração constante de 0,2 m/s2 de forma que, 10 segundos após terminar a sua passagem pelo ponto B, o trem inicie pelo mesmo ponto.
NOTAS:
1) Ambos os trens medem 100 metros de comprimento, incluindo suas locomotivas, que viajam à frente.
2) As distâncias ao ponto B são: AB = 3.000 m CB = 710 m
Solução por João Guilherme Araújo
Inicialmente, calculemos quanto tempo gastará o trem II para II para ultrapassar totalmente o ponto B:
Toricelli:
$$ V_2 ^2 = V_{02}^ 2 + 2\alpha\Delta S_2 \Rightarrow V_2 = 18 m$$
Substituindo os valores dados na questão:
$$V_2^2 = 0^2 + 2 \cdot 0,2 \cdot 810 = 324 s$$
Disso podemos achar o tempo através da equação horária do MUV:
$$ V_2 = V{02} + \alpha t \Rightarrow 18 = 0.2 t \Rightarrow t = 18/0,2 = 90s$$
Calculamos agora quanto o trem I demorará para iniciar a passagem pelo ponto B
dados
Função horária do espaço de I em MU:
$$S_1 = S_{01} + V_1t_1 \Rightarrow \Delta S = V_{1}t_{1} \Rightarrow t_1 = 3000/15 = 200s$$
Agora sabemos que I demorará 200s para alcançar o ponto B
Mas queremos que o trem I so alcance B após 10s da passagem do trem 2 por B, e como 2 demora 90s para isso, devemos considerar $$t_2 = 100s.$$
Assim, $$t_1 – t_2 = 200 – 100 = 100s $$.
$$100s$$
Problema 10**
Questão Intermediária Semana 7 – Solução
O cientista Succa Liaudzionis viaja, todos os dias, à mesma hora, de sua casa ao Núcleo Olímpico de Incentivo à Computação (Noic), onde trabalha. O trajeto é feito da seguinte forma: primeiro ele vai de trem até a casa de seu amigo, Sictor Vales, onde são recolhidos sempre pontualmente por uma limousine que os deixa no Noic. Os trens partem de hora em hora da estação e demoram sempre o mesmo tempo na primeira parte do trajeto.
Um dia, Succa levantou-se mais cedo e apanhou o trem uma hora antes do costume. Quando chegou à casa de Sictor, obviamente a limousine ainda não chegara; então os dois decidem fazer um pouco de exercício e começam a caminhar em direção ao Noic. Em determinado momento, encontram-se com a limousine, que para imediatamente e os levam ao trabalho.
Supondo que os dois caminhem a mesma velocidade constante, e que a limousine viaja numa velocidade também constante que é $$11$$ vezes maior que a velocidade de caminhada deles, calcule quanto tempo, antes do habitual, os cientistas chegam para trabalhar.
Solução por Victor Sales
$$i)$$ Para nossa análise, podemos dizer que o carro da empresa sai de um ponto G ao mesmo tempo que o cientista pega o trem. Ou seja, se o trem leva um tempo $${\Delta t}_1$$ para ir deixar o Succa na casa de Sictor, a distância da casa deste até o ponto G será $$V_c {\Delta t}_1$$, como na figura, onde $$V_c$$ é a velocidade da limousine.
$$!\Delta T = 10 min$$
Problema 11***
Questão Intermediária Semana 11 – Solução
Um plano horizontal suporta um cilindro vertical estacionário de raio $$R$$ e um disco $$A$$ preso ao cilindro por uma corda horizontal $$AB$$ de comprimento $$l_0$$, como na figura. Uma velocidade inicial $$v_0$$ é dada ao disco como mostrado. Por quanto tempo o disco vai se mover ao longo do plano até que atinja o cilindro? Assuma que não há atrito.
Solução por Victor Sales
$$T = \frac{l_0^2}{2 v_0 R}$$
Problema 12***
Duas rampas estão localizadas no mesmo plano vertical e formam ângulos $$\alpha$$ em relação à horizontal (veja a figura). Em algum momento, duas bolinhas são soltas dos pontos A e B, e começam a deslizar. A bolinha A levou um tempo $$t_1$$ para atingir o solo, enquanto a bolinha B levou $$t_2$$. Em que momento a distância entre as bolinhas foi a menor?
A distância $$l$$ pode ser calculada com base no tempo em que cada bolinha leva para atingir o chão:
A função horária do espaço para o MRUV é dada por $$\Delta s=v_0+\frac{at^2}{2}$$. Como $$v_0=0$$, a aceleração da bolinha A é $$g\sin(\alpha)$$, e o tempo que a bolinha A leva para atingir o chão é $$t_1$$, a distância que a bolinha um percorre até atingir o chão é $$l_1=\frac{g\sin(\alpha)t_1^2}{2}$$. Da mesma forma, a distância que a bolinha B percorre até atingir o chão é $$l_2=\frac{g\sin(\alpha)t_2^2}{2}$$. Assim, a distância $$l$$ é $$l=l_1-l_2=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}$$, e a distância horizontal entre as bolinhas é $$x=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)$$.
A seguir, está representada a aceleração de cada bolinha no referencial do laboratório:
Contudo, o exercíco fica muito simples se mudarmos para o referencial da bolinha A uma vez que, nesse referencial a bolinha B se move horizontalmente para a esquerda com aceleração constante igual a $$2g\sin(\alpha)cos(\alpha)$$.
Nesse referencial, a trajetória de B é um segmento de reta horizontal. Dessa forma, a distância entre as bolinhas será menor quando o segmento de reta que liga elas for perpendicular à trajetória de B (quando A estiver exatamente acima de B). Isso acontece quando B percorre uma distância $$x$$. O instante de tempo em que isso ocorre pode ser calculardo usando a funçãp horária do espaço para o MRUV: $$\Delta s=v_0+\frac{at^2}{2}$$, onde $$v_0=0$$, $$\Delta s=x=\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)$$, e $$a=2g\sin(\alpha)cos(\alpha)$$, então:
$$\frac{g\sin(\alpha)(t_1^2-t_2^2)}{2}\cos(\alpha)=\frac{2g\sin(\alpha)cos(\alpha)t^2}{2}\rightarrow t=\sqrt{\dfrac{t_1^2 – t_2^2}{2}}$$
$$t=\sqrt{\dfrac{t_1^2-t_2^2}{2}}$$
Problema 13**
Um cachorro está perseguindo uma raposa que está correndo com velocidade constante $$v_1$$ ao longo de uma linha reta. O módulo da velocidade do cachorro é constante e igual a $$v_2$$, mas o vetor $$\vec{v_2}$$ está sempre direcionado para a raposa. A distância entre os animais era $$d$$ no momento em que seus vetores de velocidade eram perpendiculares. Qual era a aceleração do cachorro nesse momento?
O módulo da velocidade do cachorro não muda, então a aceleração se dá exclusivamente pela alteração de sentido da velocidade.
Para resolver esse exercício, trabalharemos com intervalos de tempo infinitesimais (extremamente pequenos).
Em um intervalo de tempo $$\Delta t$$, a raposa se desloca uma distância $$d_1=v_1\Delta t$$. Como estamos considerando um $$\Delta t$$ muito pequeno, $$d_1$$ é muito pequeno, o que implica que $$\phi$$ também é muito pequeno. Nesse caso, podemos perceber pelo desenho que $$\phi d \approx d_1 =v_1\Delta t$$. Uma rotação em $$\phi$$ no vetor velocidade, para um $$\phi$$ muito pequeno, corresponde a uma variação de velocidade $$\Delta v \approx v_2\phi$$. Assim, temos que:
$$\Delta v=\approx v_2\phi\approx v_2\frac{v_1\Delta t}{d}\rightarrow a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_1v_2}{d}$$
$$a=\frac{v_1v_2}{d}$$
Problema 14***
Um carro está se movendo em uma estrada reta com velocidade constante $$v$$. Um menino, em pé em um campo adjacente avista o carro e espera pegar uma carona nele. Qual é a velocidade mínima $$u_{min}$$ com a qual o menino deve correr para alcançar o carro? Resolva o problema de forma geral: denotando a velocidade do carro por $$v$$, a velocidade máxima do menino por $$u$$, e considerando as posições iniciais do carrinho e do menino conforme mostrado na figura.
Antes de mais nada, mudaremos para o referencial do carro – o que equivale a somar um vetor $$-\vec{v}$$ à velocidade de todos os corpos.
O carro e o menino chegarão simultaneamente em um ponto da rua se, nesse referencial, o menino corre diretamente em direção ao carro. Assim, a velocidade total do menino nesse referencial ($$\vec{u}-\vec{v}$$) deve ser paralela ao segmento de reta que liga o menino ao carro (representado na figura). Essa condição pode ser cumprida com vários vetores $$\vec{u}$$ (como por exemplo pelos vetores $$\vec{u_1} $$ e $$\vec{u_2}$$ representados na figura). Contudo, o módulo do vetor $$\vec{u}$$ só é mínimo ($$u_{min}$$) quando $$\vec{u}$$ é perpendicular ao segmento que liga o carro ao menino. Denotaremos o ângulo entre a rua e o segmento de reta que liga o carro até o menino por $$\theta$$. Por geometria, vemos que, na condição do módulo de $$\vec{u}$$ ser mínimo, este deve forma um ângulo $$90-\theta$$ com $$\vec{v}$$. Do triângulo retângulo formado pelos vetores $$\vec{v}$$, $$\vec{u_{min}}$$ e $$\vec{u_{min}-v}$$, temos que $$u_{min}=v\sin(\theta)$$.
Resta-nos agora calcular o valor de $$\theta$$.
Da figura, vemos que $$\tan(\theta)=\frac{b}{a}$$. Assim, $$\theta=\arctan(\frac{b}{a})$$.
Então:
$$u_{min}=v\frac{(\frac{b}{a})^2}{1+(\frac{b}{a})^2}$$
$$u_{min}=v\frac{(\frac{b}{a})^2}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^2}}$$
Problema 15***
Um menino está correndo para o norte, com uma velocidade de $$v = 5 \frac{m}{s}$$ sobre a superfície lisa de um grande lago congelado. O coeficiente de atrito (tanto cinético quanto estático) entre a sola de seus tênis e o gelo é $$\mu = 0,1$$. Para simplificar, assuma que a força normal que ele exerce sobre o gelo, que na realidade varia com o tempo, pode ser substituída pelo seu valor médio.
a) Qual é o tempo mínimo que ele precisa para mudar de direção, de forma que ele esteja correndo para o leste com a mesma velocidade $$v$$?
b) Qual é a forma da trajetória do menino durante a curva neste caso ótimo (esse item exige um conhecimento básico de movimentos bidimensionais – se preferir, pode deixá-lo para fazer após estudar o tema).
a)
Para responder essa questão, temos que pensar tanto sobre o módulo quanto o sentido do vetor $$\vec{a}$$. Para que a mudança de velocidade seja feita o mais rápido possível, o módulo da aceleração deve ser o maior possível. O valor máximo da força de atrito é $$\mu mg$$, então o maior módulo possível da aceleração é $$\mu g$$. E sobre seu sentido?
Para isso, vamos desenhar um sistema de coordenadas $$v_x-v_y$$, no qual $$v_x$$ é a componente da velocidade na direção leste e $$v_y$$ é a componente da velocidade na direção norte com a velocidade inicial $$\vec{v_1}$$ e a velocidaed final $$\vec{v_2}$$ representadas.
Queremos passar o vetor velocidade de $$\vec{v_1}$$ para $$\vec{v_2}$$ o mais rápido possível. A aceleração não é nada mais nada menos que a velocidade da ponta do vetor $$\vec{v(t)}$$, então, se quisermos que a mudança de velocidade ótima, devemos escolher a menor distância no plano $$v_x-v_y$$, que é o segmento de reta que liga a ponta do vetor $$\vec{v_1}$$ à ponta do vetor $$\vec{v_2}$$: a aceleração é constante em módulo e sentido. Seu módulo é $$\mu g$$ é ela aponta para o sudeste.
Agora, basta usarmos função horária da velocidade:
$$\Delta v=at$$
O módulo do $$\Delta v$$ é a distância entre a ponta do vetor $$v_1$$ e a ponta do vetor $$v_2$$, que é $$v\sqrt{2}$$. Assim:
$$t=\frac{v\sqrt{2}}{\mu g}$$
b)
Quando um corpo é lançado obliquamente sob a ação de um campo gravitacional constante, sua trajetória é uma parábola. Essa situação é análoga ao que acontece com o menino no caso ótimo uma vez que, nessas condições, a aceleração que ele sofre é constate em módulo e sentido. Assim, a trajetória que o menino executa é uma parábola com concavidade apontando para o sudeste.
$$t=\frac{v\sqrt{2}}{\mu g}$$, Parábola com concavidade apontando para o sudeste.