Escrito por Wesley Andrade
Iniciante
Kepler Variante
Considere um planeta em uma órbita elíptica com semieixo maior $$a$$ e período $$P$$. Caso aumentemos seu período em $$\Delta P \ll P$$, qual será a consequente variação no semieixo maior? Pode ser útil a relação $$\left(1+x\right)^n \approx 1+nx$$ para $$x \ll 1$$.
Intermediário
Invariante Adiabático
Nesse problema, iremos abordar um resultado físico muito importante: se um movimento oscilatório ocorre, com os parâmetros do sistema mudando bem devagar (quasi-estático), temos que a área do gráfico no diagrama de fases $$\left(p_x \times x \right)$$, sendo $$p_x$$ o momento linear na direção $$x$$, será conservada. À tal grandeza damos o nome de “invariante adiabática”.
Por exemplo, se em um pêndulo simples variarmos o comprimento do fio em um tempo bem maior que o período, podemos utilizar esse resultado.
(a) Munido dessa informação, prove que a quantia $$\dfrac{E}{f}$$ em um M.H.S. é um invariante adiabático. Lembre-se que $$\omega= \sqrt{\dfrac{k}{m}}=2 \pi f$$.
(b) Considere um corpo preso à uma mola de constante elástica $$k_1$$ realizando um movimento oscilatório de amplitude $$A_1$$. De repente, a constante elástica começa a diminuir bem lentamente, até atingir um valor $$k_2$$. Calcule, para tal instante, qual será a amplitude $$A_2$$ do movimento.
(c) Por fim, suponha um modelo de gás unidimensional, isto é, uma bolinha com velocidade bastante elevada presa entre duas paredes de área $$S$$, sendo uma delas móvel. Demonstre que, usando a invariante adiabática do sistema, podemos chegar na famosa relação de transformações adiabáticas reversíveis $$PV^\gamma = cte$$, sendo $$\gamma$$ o expoente adiabático deste sistema.
Avançado
Biot-Polar?
Considere um loop de fio plano que carrega uma corrente contínua $$I$$; iremos trabalhar nesse problema uma forma de calcular o campo magnético em um ponto do plano, que pode ser a origem (ou qualquer um dentro ou fora do loop, mas pode-se pegar a origem para simplificações). O formato do fio é dado por uma função em coordenadas polares $$r(\theta)$$.
Figura 1: Ilustração do loop
(a) Mostre que que a magnitude do campo magnético na origem é:
$$B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle \oint \dfrac{d\theta}{r}$$
(b) Podemos testar essa fórmula em casos simples, para verificar sua funcionalidade. Assim, teste-a calculando o valor do campo magnético no centro de um loop circular.
(c) A “espiral de lituus” é definida por:
$$r(\theta) = \dfrac{a}{\sqrt{\theta}}, \ \ \ \ \ (0 < \theta \leq 2\pi)$$
(para alguma constante $$a$$). Faça o gráfico dessa figura e complete com um segmento reto ao longo do eixo $$x$$, para poder formar-se um loop fechado. Então, calcule a magnitude do campo magnético na origem.
(d) Para uma cônica qualquer, com foco na origem, podemos escrever sua equação polar por:
$$r(\theta) = \dfrac{p}{1+e\cos{\theta}}$$
onde $$p$$ é o semi-latus rectum e $$e$$ é a excentricidade. Mostre que o campo na origem independe da excentricidade.
(e) Por fim, considere que uma elipse de dimensões bem menores que a do loop seja posta na origem. Seus eixos possuem um tamanho que varia com o tempo (sendo esse tempo suficientemente pequeno para não deixar suas dimensões comparáveis às do loop):
$$a(t) = a_0e^t$$
$$b(t) = b_0e^t$$
Além disso, considere que a corrente também varia com o tempo: $$I(t) = I_0 + kt$$. Calcule, então, a força eletromotriz induzida na elipse pelo loop externo (considere que esse loop seja uma cônica de semi-latus rectum $$p$$).