Matemática – Semana 10

Iniciante

Seja $N$ um inteiro positivo. é permitido realizar as seguintes operações:

• Multiplicar $N$ por algum inteiro positivo
• Se entre os dígitos de $N$ ocorrer o bloco $12345$ de dígitos consecutivosm pode-se apagar estes 5 dígitos.

Moster que é possível, após realizar algumas operações permitidas, obter o $0$ a partir de qualquer $N$.

Intermediário

Calcule o valor da expressão $[\dfrac{1}{13}]+[\dfrac{3^1}{13}]+[\dfrac{3^2}{13}]+...+[\dfrac{3^101}{13}]$

Observação: $[x]$ é o maior inteiro que é menor do que ou igual a $x$.

Avançado

Considere a sequencia $a_1,a_2,a_3,...$ definida por $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ $(n=1,2,...)$. Determine todos os inteiros positivos que são primos com todos os termos da sequencia definida anteriormente.