Soluções Matemática – Semana 9

Iniciante

Esse é o típico problema que aparece na prova para te assustar. Mas olhe com um pouco mais de atenção: temos expoentes muito grandes e estranhos, mas vamos focar nos expoentes pequenos. No caso, temo dois expoentes $$2$$, então passa tudo para um lado só e fatora.

$$n^2-a_1^2-(n+a_1)(n-a_1)$$ e fazendo $$a_1=x$$ e $$n=x+1$$ daí teríamos $$n^2-a_1^2=2x+1$$, ou seja, nessa diferença entre quadrados conseguimos qualquer número ímpar e maior que $$1$$ que quisermos.

Para encerrar a história, faça $$a_2$$ um número par bem grande e $$a_3,a_4,…,a_2015$$ números ímpares grandes também.

Daí $$a^2+…+a_2015^(P_2015)$$ é ímpar e portanto igual a um certo $$2k+1$$ com $$k$$ inteiro positivo. Daí basta fazer $$n=k+1$$ e $$a_1=k$$ e assim achamos um exemplo que funciona para o problema.

Intermediário

Veja que, da equaçao dada vemos que $$f(x)$$ é múltiplo de $$3$$ para todo $$x$$, e substituindo $$x$$ por $$g(x)$$ temos que $$3$$ divide $$f(g(x))$$ para todo $$x$$. Voltando para a equação inicial temos agora que $$3^2$$ divide $$f(x)$$ para todo $$x$$ (pois já temos um fator $$3$$ em $$f(g(x))$$). De $$3^2|f(x) \Longrightarrow 3^2|f(g(x))$$. De novo na equação inicial vemos agora que $$3^3|f(x)$$. Podemos fazer esse processo repetidas vezes e obter por indução simples que, para cada $$k$$ inteiro positivo temos que

$$3^k|f(x)$$ para todo $$x$$.

Opa! Mas, fixado um $$x$$, sabemos que $$f(x)$$ é um valor definido e finito e o único inteiro que é múltiplo de todas as potencias de $$3$$ é o $$0$$. Assim concluímos que $$f(x)=0$$ para todo $$x$$ inteiro e é fácil testar e ver que esa função satisfaz o enunciado do problema.

Avançado

Esses problemas que só envolvem $$f$$ de uma variável tem algumas ideias bem clássicas que devemos ter sempre em mente, como olhar para ponto fixos da função, achar funções recorrentes, dentre outras. A ideia que vamos explorar aqui é forçar o aparecimento de uma função que desejamos e usar o que aprendemos no problema do intermediário, veja só:

Tente chutar a função que você imagina que fosse a resposta. A maioria dos chutes é de uma função linear, às vezes uma função exponencial, mas após alguns testes vemos que $$f(x)=2x$$ satisfaz o problema! Vamos tentar provar que ela é a única solução.

Podemos escrever $$f(x)=2x+h(x)$$, onde $$h$$ também é uma função dos inteiros nos inteiros. Nossa intenção agora é provar que $$h$$ é a função identicamente nula. Vamos lá!

$$7f(x)=3f(f(x))+2x \Longrightarrow 14x+7h(x)=3f(h(x)+2x)+2x=3[2(h(x)+2x)+h(h(x)+2x)]+2x \Longrightarrow14x+7h(x)=14x+6h(x)+3h(h(x)+2x) \Longrightarrow h(x)=3h(h(x)+2x)$$. Olha que beleza, se olharmos para $$h(x)+2x$$ como uma função $$g(x)$$ ficamos com $$h(x)=3h(g(x))$$ e como vimos no problema anterior, $$h$$ será a função identicamente nula.

Assim, a função que procuramos é únicamente $$f(x)=2x$$