Iniciante
Como a aceleração devido à força gravitacional é igual à aceleração centrípeta:
$$\frac{v^{2}}{R} = \frac{GM}{R^{2}}$$
$$v = \frac{2 \pi R}{T}$$
$$\frac{4 \pi^{2} R^{2}}{T^{2}R} = \frac{GM}{R^{2}}$$
$$T = 2 \pi R \sqrt{\frac{R}{GM}}$$
Intermediário
Da equação da diferença de magnitudes tem-se:
$$m_{PC} – m_{S} = 2,5log(\frac{F_{S}}{F_{PC}})$$
$$m_{PC} + 1,46 = 2,5log(10^{5})$$
$$m_{PC} = 11,04$$
Da mesma equação retira-se:
$$M_{PC} = 15,47$$
$$M_{S} = 2,49$$
Avançado
Sabendo que a densidade diminui com a altura e que a densidade na altura de escala $$h_{0} = 300 pc$$ é um certo $$\rho_{0}$$:
$$\rho(h) = \rho_{0}e^{\frac{-h}{h_{0}}}$$
$$\rho(0,5) = \rho_{0}e^{\frac{-0,5}{0,3}} = 0,1888 \rho_{0}$$
$$\rho(1,5) = \rho_{0}e^{\frac{-1,5}{0,3}} = 0,0067 \rho_{0}$$
$$\frac{\rho(0,5)}{\rho(1,5)} = 28,03$$