Iniciante
Situação física: sabemos que força tem dimensão de newtons, que equivale a metros vezes massa por tempo ao quadrado. Logo é fácil ver que $$\gamma$$ tem dimensão de newtons por metro, ou seja, de massa por tempo ao quadrado. Sabemos que a gota de desprenderá da torneira quando a força que a segura (tensão superficial) for igual a que a puxa para baixo (peso). Assim temos:
$$\gamma 2r\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho g$$ $$\rightarrow$$ $$\gamma=\frac{2}{3r}R^3\rho g$$
Para o segundo caso temos:
$$V=v t \pi r^{2}$$
onde $$V$$ é o volume da gota e:
$$\rho_{2} V g=2\pi r \gamma_{2}$$
Logo o tempo decorrido da formação à desprendimento de um gota é:
$$t=\frac{2}{rgv\rho}\gamma_{2}$$
Intermediário
Situação física: temos que a luz percorrá distâncias distintas nos dois casos, sempre à mesma velocidade $$c$$. Logo:
$$t_{1}=\frac{2h}{c}$$
$$t_{2}=\frac{2D}{c}$$
onde:
$$D=\sqrt{h^2 +(\frac{v t_{2}}{2})^2}$$
Já que a luz gasta metade do tempo para subir e a outra para descer. Obtemos:
$$t_{2}=\frac{2\sqrt{h^2 + (\frac{v t_{2}}{2})^2}}{c}$$
E assim:
$$t_{2}=\frac{t_{1}}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$$
Ps.: Esta é uma expressão extremamente usada nos estudos de relatividade, e por isso foi adotado: $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$$, afim de simplificar as expressões.
Avançado
Situação física: adotando um dos cilindros, vemos que há uma força de atrito (plano horizontal) que o impede de se afastar dos demais cilindros. Para termos que a força faz o menor ângulo, temos que ter a menor força horizontal, logo concluímos que neste caso a força de contato entre os dois cilindros de baixo é nula. Além disso percebemos que é necessário que haja força de atrito, de igual módulo a com o chão, entre os cilindros da base e o de cima, para o torque resultante nos cilindros da base ser nulo e eles não rotacionarem.
Adotemos:
$$P=$$peso de um cilindro;
$$F_{a}=$$força de atrito;
$$F_{N}=$$normal entre os cilindros da base e o de cima.
Temos então:
-Equilíbrio de forças na vertical:
$$P+F_{N}\cos{30}+F_{a}\sin{30}=\frac{3P}{2}$$
-Equilíbrio de forças na horizontal:
$$F_{N}\cos{60}=F_{a}(1+\cos{30})$$
Assim obtemos:
$$F_{a}=\frac{P}{4+2\sqrt{3}}$$
Por fim:
$$\tan{\theta}=\frac{F_{a}}{\frac{3P}{2}}$$ $$\rightarrow$$ $$\tan{\theta}=\frac{1}{3}(2+\sqrt{3})$$.