Iniciante
Para um corpo estar em equilíbrio dinâmico, a resultante das forças atuando sobre ele deve ser zero. Da situação descrita no problema, a força gravitacional que o Sol exerce sobre ele deve ser igual a que a Terra faz. Sendo assim:
$$F_{\odot \rightarrow o} =F_{\oplus \rightarrow o}\Rightarrow \frac{GM_{\odot} m}{x^{2}} =\frac{GM_{\oplus} m}{(d_{\odot \rightarrow \oplus} -x)^{2}} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow (\frac{d_{\odot}}{x} -1)^{2} =\frac{M_{\oplus}}{M_{\odot}}$$
$$\therefore x=1.493*10^{11} m=0.998U.A.$$
Intermediário
A distância zenital do Sol na base da montanha será, pelo desenho:
$$tgz=\frac{s}{l} \Rightarrow z=arctg(\frac{s}{l})=21.80$$
Quando o observador subir uma altura h, em relação a superfície da Terra, a distância zenital irá aumentar de $$x$$, já que o Sol vai descer em relação ao horizonte. Vale notar que o fator angular que ele aumenta é o mesmo que compreende o arco da sobra, medido do centro do planeta, assim como na figura:
Como $$\bar{OS}=R$$, $$\bar{OP}=R+h$$ e $$O\hat{S}P=180-(x+z)$$, podemos escrever, por lei dos senos:
$$\frac{sen(x+z)}{senz}=\frac{R+h}{R} \Rightarrow x=0.02149$$
Com isso, o tamanho da sombra será:
$$s^{‘}=Rx=6400km*0.02149º*\frac{\pi}{180}=2.40km$$
Avançado
a) Da definição de fluxo de energia:
$$F=\frac{L}{4\pi d^{2}}$$
b) A energia absorvida, irá usar a área transversal do planeta, então:
$$A=\pi R^{2}F=\frac{LR^{2}}{4d^{2}}(1-\alpha)$$
c) Do total de energia, um fator de $$(1-\alpha)$$ foi absorvido, portanto o resto será refletido:
$$R=\frac{LR^{2}}{4d^{2}}\alpha$$
d) A energia absorvida vai ser utilizada para esquentar o planeta, na temperatura de equilíbrio, então sua luminosidade irradiada pode ser escrita como:
$$L=A\Rightarrow 4\pi R^{2}\sigma_{B}T^{4}=(1-\alpha)\frac{LR^{2}}{4d^{2}} \Rightarrow$$
$$\Rightarrow T=[\frac{(1-\alpha)L}{16\pi \sigma_{B}d^{2}}]^{1/4}$$
e) Como somente uma face iria emitir luz, a área diminui pela metade, então:
$$\Rightarrow T=[\frac{(1-\alpha)L}{8\pi \sigma_{B}d^{2}}]^{1/4}$$
f) Substituindo os dados do problema no resultado do item d, temos:
$$T=135.0k$$