Iniciante
Da aplicação direta do período sinódico:
$$\frac{1}{S} =\frac{1}{P_{Terra}}-\frac{1}{P_{Marte}} \Rightarrow S=779.97dias$$
Intermediário
a) Como o Sol subiu, em relação ao horizonte do observador, o avião segue o sentido contrário ao de rotação da Terra. Sendo assim, ele estaria indo de Helsinki para Oslo.
b) Do movimento diário do Sol, temos que a cada $$24h$$ ele se desloca $$360^{\circ}$$, portanto em 20 minutos ele irá se locomover $$5^{\circ}$$.
Portanto, o avião se locomoveu $$7^{\circ}$$, já que o piloto viu o Sol subir $$2^{\circ}$$.
Com isso, do movimento do avião:
$$\omega =\frac{\Delta \Theta}{\Delta t} =\frac{7\pi}{20*60*180}=1.02*10^{-4}rad.s^{-1}$$
Uma forma de solucionar o problema de forma simplificada seria aproximar a latitude das duas cidades para $$60^{\circ}$$, no entanto, outro modo de pensar seria tirar a média das latitudes, e pegar o caminho médio entre elas, a qual conteria o raio de trajetória melhor definido.
$$v=\omega Rcos\Phi \Rightarrow v=1.02*10^{-4}*6.4*10^{6}*cos60.6$$
$$\Rightarrow v=1151km/h$$
c) Se em $$20$$ minutos ele percorreu $$7^{\circ}$$, vem:
$$\frac{\Delta L}{\Delta t}=\frac{17^{\circ}}{\Delta t}=\frac{7^{\circ}}{20} \Rightarrow \Delta t=49min$$
Avançado
Comparando a magnitude aparente com absoluta, teremos as seguinte equações, para o caso de $$m$$ e $$m+1$$:
$$m-M=-2.5logd_{m} +5$$
$$m+1-M=-2.5logd_{m+1} +5$$
Subtraindo as duas equações obtidas, tem-se:
$$1=5log(\frac{d_{m+1}}{d_{m}}) \Rightarrow\frac{d_{m+1}}{d_{m}}=1.58$$
Em um espaço tridimensional, com estrelas uniformemente distribuídas, o cubo da distância seria proporcional ao número de estrelas (estrelas por volume é constante). Com isso:
$$(\frac{d_{m+1}}{d_{m}})^{3} =\frac{N_{m+1}}{N_{m}} =3.98$$