Escrito por Lucas Cavalcante
Iniciante
Perdido
Na situação de culminação superior, a relação entre a latitude, declinação e altura do astro para Arcturus será:
\[h + \phi – \delta = 90 \Rightarrow \phi = 90 + \delta – h\]
\[\boxed{\phi = 54,2^{\circ} \; N}\]
Agora, para encontrar a longitude do local, pode-se utilizar a definição de tempo sideral local, sabendo que, por passar pelo meridiano local, o ângulo horário de Arcturus será \(0\):
\[TSL = H + \alpha\]
E a relação entre o tempo sideral local e o tempo sideral de Greenwich:
\[TSG + \lambda = TSL \Rightarrow \lambda = \alpha – TSG = 8h\]
\[\boxed{ \lambda = 120^{\circ} \; L }\]
Intermediário
Ondas Gravitacionais
a) Primeiramente, pode-se encontrar a energia potencial do sistema:
\[U_p = -\dfrac{GM_1M_2}{r}\]
Agora, para encontrar a energia cinêtica do sistema, é preciso descobrir a velocidade de um dos corpos, pois em um sistema binário:
\[M_1r_1 = M_2r_2 \Rightarrow M_1v_1 = M_2v_2\]
Para isso, pode-se igualar a força sentida por um dos corpos com a resultante centrípeta, ou seja:
\[\dfrac{GM_1M_2}{r^2} = \dfrac{M_2v_2^2}{r_2}\]
\[v_2^2 = \dfrac{GM_1r_2}{r^2}\]
Analogamente para o primeiro elemento:
\[v_1^2 = \dfrac{GM_2r_1}{r^2}\]
Substituindo as velocidades na expressão da energia cinética total do sistema:
\[E_{cin} = \dfrac{M_1v_1^2}{2} + \dfrac{M_2v_2^2}{2}\]
\[E_{cin} = \dfrac{GM_1M_2r_1}{2r^2} + \dfrac{GM_1M_2r_2}{2r^2}\]
\[E_{cin} = \dfrac{GM_1M_2}{2r^2}(r_1 + r_2) = \dfrac{GM_1M_2}{2r}\]
Portanto, a energia total do sistema será:
\[E_{sist} = E_{cin} + U_p = \dfrac{GM_1M_2}{2r} – \dfrac{GM_1M_2}{r}\]
\[\boxed{E_{sist} = – \dfrac{GM_1M_2}{2r}}\]
Além disso, pela \(3^{\circ}\) lei de Kepler:
\[\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{G(M_1 + M_2)}\]
\[\boxed{T = 2\pi \sqrt{\dfrac{r^3}{G(M_1 + M_2)}}}\]
b) Para encontrar uma expressão para \(\dfrac{dE_{sist}}{dt}\) além da apresentada, deve-se derivar a expressão da energia total encontrada em relação ao tempo, resultando:
\[\dfrac{dE_{sist}}{dt} = \dfrac{GM_1M_2}{2r^2} \dfrac{dr}{dt}\]
Agora, igualando essa expressão com a fornecida:
\[\dfrac{GM_1M_2}{2r^2} \dfrac{dr}{dt} = -\dfrac{32G^4}{5c^5r^5}(M_1M_1)^2(M_1+M_2)\]
\[\boxed{\dfrac{dr}{dt} = – \dfrac{64G^3}{5c^5r^3}M_1M_2(M_1 + M_2)}\]
c) Para obter-se uma expressão para o tempo de colapso do sistema, é preciso resolver a equação diferencial encontrada no item anterior:
\[\dfrac{dr}{dt} = – \dfrac{64G^3}{5c^5r^3}M_1M_2(M_1 + M_2)\]
\[\int_r^0 r^3dr = – \int_0^{t_{colapso}}\dfrac{64G^3}{5c^5}M_1M_2(M_1 + M_2) dt\]
\[\dfrac{r^4}{4} = \dfrac{64G^3}{5c^5}M_1M_2(M_1 + M_2) t_{colapso}\]
\[\boxed{t_{colapso} = \dfrac{5c^5r^4}{256G^3M_1M_2(M_1 + M_2)}}\]
d) É importante perceber que a frequência das ondas gravitacionais é o dobro da frequência orbital do sistema que as emitem e que a velocidade dessas ondas é igual a velocidade da luz (\(c\)). Portanto, utilizando a relação \(v = \lambda f\) e expressão para o período orbital encontrada no item a:
\[2f_{orb} = f_{og}\]
\[\lambda = \dfrac{cT}{2}\]
\[\boxed{\lambda = \pi c \sqrt{\dfrac{r^3}{G(M_1 + M_2)}}}\]
Avançado
Órbitas e Energias Potenciais
a) A energia total do sistema será a soma da energia cinética do corpo de prova e a energia potencial atuante sobre ele:
\[\boxed{E = \dfrac{mv^2}{2} – \dfrac{\alpha}{r}}\]
b) O momento angular de uma órbita pode ser escrito como:
\[L = mr^2\dot{\theta}\]
Então, substituindo o \(\theta\) encontrado a partir do momento angular na expressão para a velocidade:
\[\boxed{v^2 = \dot{r}^2 + \dfrac{L^2}{m^2r^2}}\]
Portanto, colocando essa velocidade na equação para a energia do sistema:
\[\boxed{E = \dfrac{m\dot{r}^2}{2} + \dfrac{L^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r}}\]
c) Como encontrado no item anterior, a energia potencial efetiva será:
\[V_{eff} = \dfrac{L^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r}\]
Esboçando o gráfico \(V\) em função de \(r\) dessa expressão, encontra-se:
A posição de equilíbrio do sistema, ou seja, quando a energia potencial é mínima pode ser encontrada derivando a expressão para o potencial efetivo e igualando a \(0\):
\[\dfrac{dV_{eff}}{dr} = -\dfrac{L^2}{mr_c^3} + \dfrac{\alpha}{r_c^2} = 0\]
\[\boxed{r_c = \dfrac{L^2}{m\alpha}}\]
d) Então, escrevendo a energia total do sistema com esse novo potencial:
\[E = \dfrac{m\dot{r}^2}{2} + \dfrac{L^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r} + \dfrac{\beta}{r^2}\]
Dessa forma, pode-se perceber que o novo potencial efetivo será:
\[V_{eff} = \dfrac{L^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r} + \dfrac{\beta}{r^2}\]
Realizando o mesmo procedimento executado no item c:
\[\dfrac{dV_{eff}}{dr} = -\dfrac{L^2}{mr_c^3} + \dfrac{\alpha}{r_c^2} – \dfrac{2\beta}{r^3} = 0\]
\[\boxed{r_c = \dfrac{L^2 + 2m\beta}{m\alpha}}\]
e) Retomando a expressão para a energia total do sistema que sofre do potencial trabalhado e comparando com o formato apresentado, tem-se que:
\[\dfrac{m\dot{r}^2}{2} + \dfrac{L^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r} + \dfrac{\beta}{r^2} = \dfrac{m\dot{r}^2}{2} + \dfrac{L_{eff}^2}{2m r^2} – \dfrac{\alpha}{r}\]
\[L_{eff}^2 = L^2 + 2m\beta\]
Para se simplificar a expressão para o momento angular efetivo do sistema pode-se somar e subtrair \(\left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2\), pois, assim, completa-se o quadrado perfeito \(L^2 + 2m\beta + \left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2\), e como \(2m\beta \ll L\), o termo \(-\left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2\) pode ser desprezado, resultando em:
\[L_{eff} = L^2 + 2m\beta +\left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2 – \left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2\]
\[L_{eff} = \left(L + \dfrac{m\beta}{L}\right)^2 – \left(\dfrac{m\beta}{L}\right)^2\]
\[\boxed{L_{eff} \approx L + \dfrac{m\beta}{L}}\]
f) Para encontrar a frequência da precessão do periélio, deve-se escrever o momento angular efetivo como a soma do momento angular orbital e do momento angular da precessão:
\[L_{eff} = L + mr^2\omega_p\]
\[\omega_p = \dfrac{\beta}{Lr^2}\]
Utilizando a expressão para o momento angular orbital, e utilizando \(\dot{\theta} \approx \dfrac{2\pi}{T}\), considerando a órbita aproximandamente circular:
\[2\pi f_p = \dfrac{\beta}{L \dfrac{LT}{m2\pi}}\]
\[\boxed{f_p = \dfrac{m\beta}{L^2T}}\]