INICIANTE
Para resolvermos o problema, separaremos em três partes:
Para a estrela $$E_1$$, onde $$m_1$$=1 e $$L_1=4L_s$$, com $$d_t$$=distância do Sol a Terra,
$$m_1-m_s=-2,5log{\frac{4L_s}{4\pi {d_1}^2}\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$$
$$d_1=1,0\cdot10^{17}m$$
Para $$E_2$$, de $$m_2$$=-0,5 e $$L_2=7L_s$$,
$$m_2-m_s=-2,5log{\frac{7L_s}{4\pi {d_2}^2}\cdot\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$$
$$d_2=7,0\cdot10^{16}m$$
Para $$E_3$$, de $$m_3$$=4 e $$L_3=L_s$$,
$$m_3-m_s=-2,5log{\frac{L_s}{4\pi {d_3}^2}\cdot\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$$
$$d_2=2,1\cdot10^{17}m$$
Assim, o presente de Bismarck será $$E_2$$, que dista $$d_2=7,0\cdot10^{17}m$$
INTERMEDIÁRIO
Para resolvermos este problema, devemos nos basear nos conceitos de órbita relativa entre dois corpos.
Assim, primeiramente, para calcular a velocidade relativa ao observador, por efeito doppler, temos
$$\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{v_r}{c}$$
$$v_r=16,4km/s$$
$$v_G=\frac{v_r}{cos{30}}$$
Assim, por centro de massa, onde $$r=r_G+r_L$$
$$r=r_G\frac{M_G+M_L}{M_L}$$
Derivando em relação ao tempo, temos a velocidade relativa
$$v=v_G\frac{M_G+M_L}{M_L}=\frac{v_r}{cos{30}}\frac{M_G+M_L}{M_L}$$
$$v=23,6km/s$$
Por conservação de energia, com $$M=M_G+M_L$$ e $$a=a_G+a_L$$,
$$-\frac{GM}{2a}=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{d}$$
$$a=\frac{GMd}{2GM-v^2 d}=1,1UA$$
Finalmente, pela terceira lei de Kepler,
$$\frac{P^2}{a^3}=\frac{1}{M}$$
$$P=0,5ano$$
AVANÇADO
Primeiramente, devemos calcular o tamanho do cone de sombra da Terra no momento
Por semelhança de triângulos, temos
$$\frac{d_s+a+x}{R_s}=\frac{x+a}{R_t}$$
$$x=\frac{a R_t + d_s R_s – a R_s}{R_s-R_t}$$
$$x=1,00\cdot10^6km$$
$$R_e= R_t\frac{x}{a+x}$$
$$R_e=4,61\cdot10^3km$$
Para definirmos, da Terra a inclinação da órbita lunar:
$$tan{i}=\frac{R_e-\Delta r}{d_t}$$
Considerando que, para R_L, aproximadamente 50% da Lua está encoberta, temos $$\Delta r$$
$$\Delta r= \frac{6}{5}R_L-R_L=\frac{1}{5}R_L$$
$$tan{i}+\frac{R_e-\frac{R_L}{5}}{d_t}$$
a)$$i=0,63^{\circ}$$
A velocidade da Lua pode ser descrita por
$$v^2=\frac{GM}{a}$$
$$v=1,02km/s$$
A trajetória da lua pode ser descrita, aproximadamente, por
$$\frac{2(R_e^2-a^2sen^2i)^{1/2}+2R_L}{\Delta t}=v$$
b)$$\Delta t= 93,3 minutos$$
Para calcular a velocidade angular da lua, usamos
$$\omega=\frac{v}{a}=13,2^{\circ}/dia$$
Esquematizando a órbita lunar, com $$epsilon=5,14^{\circ}$$,
$$sen{\omega \Delta T}=\frac{sen{i}}{sen{\epsilon}}$$
$$\Delta T= 0,53$$
$$d=22,47$$
c)Logo, no dia 22/03.