Iniciante
Começaremos com $$x^3+y^3=4$$. Já que queremos saber $$y’$$, diferenciamos ambos os lados da equação, obtendo:
$$!d(x^3+y^3)=d(4)$$
$$!!3x^2+3y^2y’=0$$
Agora, resolvendo para $$y’$$, temos:
$$!3y^2y’=-3x^2$$
Logo
$$!y’=\frac{-3x^2}{3y^2}=\frac{-x^2}{y^2}$$
Intermediário
Podemos usar neste exercício a regra de integração de substituição em $$u$$! Então, definindo $$u=4+3sec(t)$$, ao derivarmos os dois lados desta equação, temos $$du=3sec(t)tan(t)dx$$ ou $$\frac{1}{3}du=sec(t)tan(t)dx$$. Substituindo na integral, temos:
$$!\displaystyle \frac{1}{3}\int \sqrt{u}du$$
$$!\displaystyle \frac{1}{3}\int u^\frac{1}{2}du$$
Achando sua antiderivada, temos:
$$!\frac{1}{3}\frac{u^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+C$$
Agora, resubstituindo o $$u$$, teremos, finalmente:
$$!\frac{2}{9}(4+3sec(t))^\frac{3}{2}+C$$
Avançado (Solução adaptada de Humberto Borges)
Este é um limite fundamental, porque exemplifica bem a ideia deste tipo de operação e aborda um problema comum: às vezes, acontece de o numerador e denominador tenderem a zero ou a algum outro valor (geralmente zero), e o limite ser de um quociente indefinido, do tipo “$$\frac{0}{0}$$” ou “$$\frac{\infty}{\infty}$$”. Daí entra a regra de L’Hospital, que diz que o limite de uma fração é o limite da divisão da derivada do numerador pela derivada do numerador, como em:
$$!\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
Então:
$$!\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{cos(x)}{1} $$
Logo, o limite não tem mais indeterminações e é igual a:
$$!\lim \limits_ {x \rightarrow 0} cos(x)=1$$
Desta forma, provamos que
$$!\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \frac{sin(x)}{x}=1$$
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