Iniciante
Para encontrar a deformação precisamos apenas usar os dados. Mexendo com a definição de Módulo de Young temos:
$$\Delta l=\frac{Fl}{AY}$$
A força no bloco é uma reação da normal no bloco superior, mas esse normal tem o valor igual a peso dele, que é $$mg$$, a área da superfície em contato é $$a^2$$, área de um quadrado…O comprimento inicial do bloco era a, logo:
$$\Delta l=\frac{Mg}{aY}$$ (É a deformação em módulo, no caso a deformação é negativa, pois o bloco comprime)
Intermediário
A velocidade do bloquinho é dada por $$\omega l$$, em que l é o raio da sua trajetória instantânea, e $$\omega$$ é sua velocidade angular instantânea. Tendo o bloco girado um ângulo $$\theta$$ de corda na polia, o novo comprimento de corda é:
$$l=l_{o}-R\theta$$ (Pois $$R \theta$$ é o comprimento de corda enroscada,igual ao comprimento de corda preso)
A energia do sistema se conserva,e tendo o bloco apenas energia cinética,ela se conserva, e como a energia cinética se conserva, a velocidade se conserva ao longo de todo o movimento.
$$v=constante=\omega l=\omega (l_{o}-R\theta)$$
Sabemos que $$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$, assim podemos dizer que:
$$v=\frac{d\theta}{dt} (l_{o}-R\theta) –> vdt=l_{o}d\theta-R\theta d\theta$$
Integrando dos dois lados nos limites ($$0$$ até $$t$$) e ($$0$$ até $$\theta$$), temos:
$$vt=l_{o}\theta-\frac{R\theta^2}{2}$$
Quando a corda tiver totalmente enroscada teremos l=0;logo:
$$l=l_{o}-R\theta_{crit}=0 –> \theta_{crit}=\frac{l_{o}}{R}$$
$$vt=l_{o}\theta_{crit}-\frac{R\theta_{crit}^2}{2}=\frac{l_{o}^2}{2R}$$
$$t=\frac{l_{o}^2}{2vR}$$
Avançado
“Como a energia potencial de um sistema termodinâmico U(S,V,N) é uma função homogênea de suas variáveis, tomando a transformada de legendre em relação a todas devemos achar uma função identicamente nula.”
Vamos explicar, primeiro, o que é uma transformada de Legendre. Basicamente,numa transformada de Legendre em relação a x, fazemos uma função que depende explicitamente de x começar a depender explicitamente da derivada de x. Veja:
$$L[f(x)]=f(x)-f'(x).x$$
f'(x) é a tangente da reta que tangencia a função desse ponto,a transformada de legendre basicamente é o valor do coeficiente linear de f(x) caso esta fosse uma reta. Para verificar que a função é agora explicita de f'(x), veja a seguir:
$$d(f(x))=f'(x)dx$$ (Função explícita de x, se x não variar f(x) não varia)
$$d(L(f(x))=d(f(x)-f'(x)x)=f'(x)dx-f'(x)dx-df'(x) x=-xdf'(x)$$ (Função explícita de $$f'(x)$$, se $$f'(x)$$ não variar, $$L[f(x)]$$ não varia)
Considere agora que temos a função energia potencial, sabemos que:
$$\frac{\partial U}{\partial S}=T$$
$$\frac{\partial U}{\partial V}=-p$$
$$\frac{\partial U}{\partial N}=\mu$$
Sabemos que energia potencial é uma propriedade extensiva, ou seja:
$$U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)=\lambda U(S,V,N)$$
Se tirarmos a derivada parcial em relação a $$\lambda$$ dos dois lados temos:
$$\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda S)} S +\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda V)} V+\frac{\partial U(\lambda S,\lambda V,\lambda N)}{\partial (\lambda N)} N=U(S,V,N)$$
Faça $$\lambda=1$$, e teremos:
$$TS-pV+\mu N=U(S,V,N)$$
E a energia livre de Gibbs $$G(T,p,N)$$
$$G(T,p,N)=U(S,V,N)+pV-TS=\mu N$$
$$\mu=\frac{G(T,p,N)}{N}$$
Assim, temos que o potencial químico do gás é sua energia livre de gibbs por molécula, ou uma definição equivalente trataria como energia por mol, no caso apenas mudaríamos a definição de N.
Poderíamos achar com a mesma ideia da primeira fase ali em cima,olhe:
$$L[U(S,V,N)]=U(S,V,N)-TS+pV-\mu N=0$$
A transformada de legendre para três varíaveis leva a uma função identicamente nula.
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