Problemas Matemática – Semana 30

INICIANTE:

Sejam $$a,b$$ naturais tais que $$b^2+ba+1$$ divide $$a^2+ab+1$$. Prove que $$a=b$$.

INTERMEDIÁRIO:

Prove que existem infinitos inteiros positivos $$n$$ tais que $$\dfrac{5^{n-2}-1}{n}$$ é um inteiro.

AVANÇADO:

Sejam $$a,b,c$$ reais positivos. Prove que:

$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}} \ge 1$$.