Iniciante:
Situação Física: Para que o bloquinho se mantenha estático em relação a prancha, a força resultante nele, ou seja, a soma (vetorial) de todas as forças que atuam sobre ele, deve resultar em uma aceleração igual a da prancha, em módulo sentido e direção. Como não foi estabelecido, a aceleração da prancha pode ser tanto subindo o plano quanto descendo, e isto nos confere os limites mínimo e máximo.
Resolução: Se a prancha estiver subindo:
A aceleração do bloquinho para cima é dada pela força resultante neste, as duas forças que atuam são a de atrito (para cima) e a componente do peso:
$$F_{s}=\cup mg\cos{(\theta)}-mg\sin{(\theta)}$$
E
$$a_{s}=\frac{F_{s}}{m}=g(\cup\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)})$$
Logo, se a prancha subir com aceleração maior do que esta o bloquinho não a acompanha.
Se a prancha estiver descendo:
A aceleração do bloquinho para cima é dada pela força resultante neste, as duas forças que atuam são a de atrito (para baixo) e a componente do peso:
$$F_{d}=\cup mg\cos{(\theta)}+mg\sin{(\theta)}$$
E
$$a_{d}=\frac{F_{d}}{m}=g(\cup\cos{(\theta)}+\sin{(\theta)})$$
E assim, olhando os módulos (valor positivo) $$a$$ deve ser menor ou igual a $$a_{d}$$ e maior ou igual a $$a_{s}$$.
$$g(\cup\cos{(\theta)}-\sin{(\theta)})\leq a\leq g(\cup\cos{(\theta)}+\sin{(\theta)})$$
Intermediário:
Situação Física: Para que tal fenômeno ocorra, é necessário que o raio de luz de uma volta em torno do planeta, fazendo uma circunferência de raio $$R+h$$, ou seja, a uma distância $$h$$ da superfície. Para isto, quando o raio atinge uma altura $$h$$, ou seja, quando ele tenta passar por uma camada da atmosfera a uma altura $$h$$, ele é refratado fazendo $$90^0$$ com a mesma.
Resolução: Tendo um índice de refração inicial $$N_{0}$$ e sendo o ângulo $$\theta$$ o que o raio de luz incide na camada da atmosfera:
$$N_{0}\sin{(\theta)}=N\sin{(90^0)}$$
E temos que:
$$\sin{(\theta)}=\frac{R}{R+h}$$
Pois consta em um triângulo retângulo de hipotenusa $$R+h$$ e cateto oposto $$R$$.
Por fim:
$$N=\frac{N_{0}R}{R+h}=\frac{N_{0}}{1+\frac{h}{R}}$$
Sabendo que $$N=\frac{N_{0}}{1+\epsilon h}$$, concluímos que:
$$\epsilon=\frac{1}{R}$$
Avançado:
Situação Física: Nos é dado que devido ao índice de refração variável o raio de luz curvará em uma circunferência definida. Podemos analisar um infinitesimal deslocamento $$d\theta$$ do raio nesta circunferência afim de obter os parâmetros.
Resolução: Pegando um $$dl$$ da trajetória do raio podemos trata-lo como uma reta e formar um triângulo ($$ABC$$, retângulo em $$B$$) usando-o como hipotenusa, onde o ângulo da base ($$dx$$) com a hipotenusa é $$\theta$$ e o cateto oposto é um infinitesimal $$dz$$. Se ligarmos $$A$$ e $$C$$ ao centro da circunferência, temos como uma aproximação válida $$dl=Rd\theta$$.
Assim obtemos:
(I) – $$dz=Rd\theta\cos{(\theta)}$$
E por Snell sabemos que:
(II) – $$N_{0}\sin{(\theta_{0})}=N\sin{(\theta)}$$
Além disso, sabemos que:
(III) – $$N_{0}=\frac{V_{0}}{C_{0}}$$ e $$N=\frac{V}{C}$$
Aplicando (II) em (III):
$$C=C_{0}\frac{\sin{(\theta)}}{\sin{(\theta_{0})}}$$
E derivando:
(IV) – $$dC=C_{0}\frac{\cos{(\theta)}d\theta}{\sin{(\theta_{0})}}\rightarrow\cos{(\theta)}d\theta=\frac {dC\sin{(\theta_{0})}}{C_{0}}$$
Mas temos que:
$$C=C_{0}+bz$$
Logo:
(V) – $$dC=bdz$$
Usando (I) em (V):
(VI) – $$\frac{dC}{b}=Rd\theta\cos{(\theta)}$$
Por fim, usando (IV) em (VI):
$$R\frac {dC\sin{(\theta_{0})}}{C_{0}}=\frac{dC}{b}$$
E isto nos leva a:
$$R=\frac{C_{0}}{b\sin{(\theta_{0})}}$$