Iniciante:

 

Situação Física: Temos, da parte do projétil do canhão, um lançamento oblíquo, sob a condição de dever chegar ao precipício no momento em que a bolinha esteja na altura certa para ser atingida. A altura $$h$$ que o projétil estará ao chegar ao precipício bem como o tempo que este levará já estão definidos pelas condições iniciais (distância, velocidade inicial e ângulo de lançamento), e também podemos facilmente encontrar o tempo que a bolinha levará para chegar a tal altura, basta então alinharmos as condições.

Resolução: Para o tempo que o projétil leva para atingir o precipício a uma distância $$D$$:

$$V\cos{(30^0)}t=D\rightarrow t=\frac{2D}{V\sqrt{3}}$$

A altura que o mesmo estará neste momento:

$$h=V\sin{(30^0)}t-\frac{gt^2}{2}=\frac{D}{\sqrt{3}}-g\frac{2D^2}{3V^2}$$

Agora vemos o tempo que a bolinha leva para descer ate a mesma altura:

$$h=\frac{gt’^2}\rightarrow t’=\sqrt{\frac{2h}{g}}\rightarrow t’=\sqrt{2\frac{\frac{D}{\sqrt{3}}-g\frac{2D^2}{3V^2}}{g}}$$

Por fim, olhamos a diferença entre os tempos:

$$T=t’-t=\sqrt{2\frac{\frac{D}{\sqrt{3}}-g\frac{2D^2}{3V^2}}{g}}-\frac{2D}{V\sqrt{3}}$$

Intermediário:

Situação Física: Neste caso, temos no sistema um momento de inércia discreto, não sendo necessário utilizar cálculo. Basta fazermos a soma de uma P.G infinita. Por fim, obtemos a aceleração angular e a velocidade inicial e com isto temos a velocidade final.

Resolução: Para o momento de inércia, somamos os momentos das infinitas bolinhas. Chamemos o da primeira bolinha de $$I_{1}$$, tal que:

$$I_{1}=ml^2$$

Para a segunda:

$$I_{2}=3m\frac{l^2}{4}=\frac{3}{4}I_{1}$$

Para a terceira:

$$I_{3}=9m\frac{l^2}{16}=\frac{9}{16}I_{1}$$

E assim por diante, nos levando a:

$$I_{T}=I_{1}(1+\frac{3}{4}+\frac{9}{16}+\frac{27}{64}+…)$$

Soma de P.G infinita (razão menor que $$1$$):

$$S=a_{1}\frac{1}{1-q}$$

Onde $$a_{1}$$ é o termo inicial e $$q$$ a razão. Assim temos:

$$I_{T}=I_{1}\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4ml^2$$

Temos que a energia inicial é dada por:

$$E=\frac{I_{T}\omega_{0}}{2}\rightarrow \omega_{0}=\frac{E}{2ml^2}$$

E para a aceleração angular:

$$T=I_{T}\alpha\rightarrow \alpha=\frac{T}{4ml^2}$$

Por fim, a velocidade é dada como:

$$\omega=\omega_{0}+\alpha t=\frac{E}{2ml^2}+\frac{T}{4ml^2}t$$