Iniciante:

Situação Física: Temos de perceber a diferença entre as variações de energia entre o primeiro e segundo caso, sendo que ambos temos massas que partem do repouso e sobem a uma mesma altura (energia potencial) tendo no fim uma mesma velocidade (energia cinética), porém tratamos de duas massas distintas: com passageiros e sem passageiros, respectivamente $$M$$ e $$M+10m$$. Além disso, temos de lembrar que potência é trabalho por tempo.

Resolução: Trabalho no caso $$1$$:

$$\Delta E=Mgh+\frac{M}{2}v^2-Mg0-\frac{M}{2}0^2$$

Tendo a potência:

$$P=\frac{\Delta E}{3}=\frac{Mgh+\frac{M}{2}v^2}{3}$$.

E no caso $$2$$:

$$\Delta E’=(M+10m)gh+\frac{M+10m}{2}v^2-(M+10m)g0-\frac{M+10m}{2}0^2$$

Tendo a potência:

$$P’=\frac{\Delta E’}{6}=\frac{(M+10m)gh+\frac{M+10m}{2}v^2}{6}$$.

Sendo a diferença de potências:

$$P-P’=\frac{(M-10m)gh+\frac{M-10m}{2}v^2}{6}$$

E assim vemos que, caso $$m=\frac{M}{10}$$, não há variação de potência.

 

Intermediário: 

Situação Física: Para ser mais fácil mover a ponte temos de prender o gancho no ponto (da ponte) onde geraremos o maior torque, e assim descobrimos a altura na qual o gancho se prendeu a ponte. Após isso basta ver a velocidade inicial necessária para o gancho chegar a tal ponto sendo lançado do ângulo dito. Cuidado, se o ângulo não fosse especificado ainda assim seria possível se resolver o problema, mas teríamos de utilizar a formula do alcance em uma parábola.

Resolução: Assumindo que puxaremos a corda com força $$F$$, temos o torque:

$$T=Fh\cos{(\alpha)}=Fh\frac{D}{\sqrt{h^2+D^2}}$$

Onde $$\alpha$$ é o angulo feito pela corda (tracionada) com a horizontal e $$h$$ a altura na ponte onde o gancho está. Para descobrir o máximo desta função poderíamos derivar ou mesmo testar limites, mas também podemos ver a seguinte equivalência:

$$T=Fh\frac{D}{\sqrt{h^2+D^2}}=FD\frac{h}{\sqrt{h^2+D^2}}=FD\sin{(\alpha)}$$

Sendo $$F$$ e $$D$$ constantes, temos que o valor de $$sin{(\alpha)}$$ deve ser máximo, e assim vemos que $$h$$ deve ser máximo. Ou seja, temos $$h=H$$.

Para a velocidade mínima, podemos ver o tempo que ele o gancho leva para atingir a ponte e dizer que neste mesmo tempo tem que estar a uma altura $$h=H$$. Ou seja:

$$v\sin{(\theta)}t-\frac{gt^2}{2}=H$$

e

$$v\cos{(\theta)}t=D$$

Substituindo o tempo na primeira equação:

$$\sin{(\theta)}\frac{D}{\cos{(\theta)}}-\frac{D^2g}{2v^2\cos^2{(\theta)}}=H$$

Deste modo:

$$v^2=\frac{gD^2}{2\cos^2{(\theta)}(\sin{(\theta)}\frac{D}{\cos{(\theta)}}-H)}$$

E assim, a energia conferida ao gancho equivale a:

$$\frac{m}{2}v^2=m\frac{gD^2}{4\cos^2{(\theta)}(\sin{(\theta)}\frac{D}{\cos{(\theta)}}-H)}$$

 

Avançado:

Solução Física: Neste caso, temos três questões simples de relatividade. Basta transformarmos comprimento e somarmos velocidades relativisticamente.

Resolução:

a) Neste caso temos que o comprimento da barra na vertical se mantém o mesmo, porém na horizontal é contraído em $$\frac{1}{\gamma}$$, nos levando a:

$$\tan{(\alpha)}=tan{(\theta)}\gamma$$

Onde $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ e $$c$$ é a velocidade da luz.

b) Temos uma situação semelhante, basta vermos que os lados do quadrado têm comprimento $$\sqrt{A}$$ e que os horizontais contraem, os levando ao perímetro:

$$P=2\sqrt{A}(1+\frac{1}{\gamma})$$

Sendo $$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$.

c) Neste caso, temos que subtrair as velocidades relativisticamente. Deste modo:

$$u’=\frac{u-(-v)}{1-\frac{uv}{c^2}}=\frac{c^2(u+v)}{c^2-uv}$$

Onde $$c$$ é a velocidade da luz.