Iniciante:
Situação Física: Aqui devemos nos atentar a cada uma das conversões necessárias. Temos de perceber onde devemos olhar para encontrar a energia do sistema, sendo neste caso, energia cinética e térmica.
Resolução:
a) Primeiramente, escrevemos a energia necessária em função da massa, nossa única variável:
$$E_c+E_t=\frac{1}{2}m100^2+4000(100-20)m=325\times1000000$$
Onde o fator $$4000$$ na energia térmica advém da conversão de uma caloria (por grama) para joules (por quilograma). Isolando a massa:
$$m=325000000\frac{1}{5000+320000}=325000$$ $$kg$$
b) Para o raio da esfera, utilizando princípios de dilatação, temos:
$$R=R_0(1+\alpha\Delta T)$$
Por consequência, para o volume, que se dá pelo cubo do raio:
$$V=V_0(1+\alpha\Delta T)^3\approx V_0(1+3\alpha\Delta T)$$
Por fim:
$$V-V_0=V_0(1+240\alpha)$$
Substituindo $$V_0$$, sabendo a massa da esfera de água e sua densidade:
$$\Delta V=325(1+240\alpha)$$
Intermediário:
Situação Física: Para tal problema devemos nos atentar a dois detalhes: o rendimento máximo do motor, que deve equivaler ao de Carnot, e a energia cinética total do carrinho, a qual não engloba somente sua energia de translação com também a de rotação das rodas.
Resolução: Primeiramente, olhamos qual o trabalho fornecido pelo motor por ciclo. Admitiremos que este tem rendimento máximo (Carnot):
$$N=\frac{W}{Q}=1-\frac{T_f}{T_q}$$
Onde $$N$$ representa a eficiência, $$W$$ o trabalho, $$Q$$ o calor recebido, $$T_f$$ a temperatura da fonte fria e $$T_q$$ a temperatura da fonte quente. Assim encontramos:
$$W=Q(1-\frac{T_f}{T_q})=400(1-\frac{300}{400})=100$$ $$J$$
Note que convertemos as temperaturas para Kelvins. Agora analisamos a energia cinética. Chamemos de $$I$$ o momento de inércia de cada uma das rodas:
$$E=\frac{1}{2}MV^2+4\frac{1}{2}I\omega^2=100$$
Sabemos que o momento de inércia de um disco é dado por:
$$I=\frac{mR^2}{2}$$
E assim, assumindo rolamento perfeito ($$V=\omega R$$), temos:
$$V^2=\frac{200}{M+2m}$$
Avançado:
Situação Física e Resolução: Nos deparamos com uma “estranha” questão de estatística. Será interessante utilizar um conceito semelhante ao de trabalho virtual para resolve-la. Vamos pensar na montanha como uma coluna de rocha. Agora imagine que esta tem uma altura $$x$$ a mais do máximo que poderia ter naquele planeta, que diremos ser $$H$$. Olhemos para uma secção inferior de área $$A$$ e altura $$x$$, está suporta sobre si uma pressão equivalente a $$\rho gH$$, sendo $$\rho$$ a densidade da rocha. Se a montanha descesse a tal altura a mais $$x$$, efetuaria um trabalho equivalente a $$A\rho gHx$$, o qual podemos associar ao ganho de energia térmica por parte da base que teria de derreter para que o restante da montanha descesse. A energia necessária para derreter a base da montanha equivale a $$LM_b$$, sendo $$M_b$$ a massa da base, a qual pode ser dada por $$V\rho=Ax\rho$$. Igualando as expressões: $$A\rho gHx=LAx\rho$$, e assim encontramos que $$H=\frac{L}{g}$$.
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