Soluções Física – Semana 74

Uma situação clássica  de conservação da quantidade de movimento.

Adotando o sentido positivo para a direita:

$0=m_{p}V_{p}+m_{a}V_{a}$

$V_{a}=-\frac{m_{p}V_{p}}{m_{a}}$

$V_{a}$=$-4$ $\frac{m}{s}$

$|V_{a}|$=$4$ $\frac{m}{s}$

$|V_{a}|$=$4$ $\frac{m}{s}$

O problema apresenta a variação da velocidade de propagação de ondas transversais em um fio por meio da mudança da tração nesse fio.

1. Descobrindo a tração

$T=mg-E$

$T=\rho_{b}V_{t}g-\rho{a}V_{i}g$

No 1° caso, como $V_{i}=0$, temos:

$T_{1}=\rho_{b}V_{t}g$

No 2° caso, como $V_{i}=\frac{2}{3}V_{t}$, temos:

$T_{2}=V_{t}g\big(\rho_{b}-\frac{2}{3}\rho_{a}\big)$

2. Velocidade de propagação:

$v=\sqrt{\frac{T}{\lambda}}$

Como $v_{2}=0,955v_{1}$, temos:

$\sqrt{\frac{T_{2}}{T_{1}}}=0,955$

$\frac{\big(\rho_{b}-\frac{2}{3}\rho_{a}\big)}{\rho_{b}}=0,955^{2}$

$\rho_{b}\approx7,6\rho_{a}$

$\rho_{b}\approx7,6\rho_{a}$

A questão apresenta uma oscilação amortecida forçada, em que a solução para $x$ é dada pela soma de duas outras, a estacionária e a homogênea, mas o problema nos pede para analisar apenas a estacionária.

1. Equação do movimento:

$a+{\gamma}v+\omega_{0}^{2}x=\frac{F_{0}cos({\omega}t)}{m}$

2. Para encontrarmos a solução estacionária para equações desse tipo supomos $x$ é a parte real da equação:

$x=Re\big[Ce^{i{\omega}t}\big]$

Utilizando que $a$ e $x$ estão relacionas pela derivadas de $x$ em relação ao tempo e a equação do movimento, temos:

$-\omega^{2}C+i{\omega}C+\omega^{2}C=\frac{F_{0}}{m}$

$C=\frac{F_{0}}{m\big[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+i{\omega}{\gamma}\big]}$

$C=\frac{F_{0}e^{-i\phi}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$

$\phi=tan^{-1}\bigg[\frac{\omega\gamma}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}\bigg]$

Logo:

$x=Re\Bigg[\frac{F_{0}e^{{i\omega}t-i\phi}}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}\Bigg]$

$x=\frac{F_{0}cos({\omega}t-\phi)}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$

$v=\frac{-F_{0}{\omega}sen({\omega}t-\phi)}{m\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}}$

a)

Para encontrar a amplitude máxima, podemos reescrever a amplitude como:

$A=\frac{F_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\omega^{2}\gamma^{2}}$

Devemos então, minimizar o termo dentro da raiz, fazemos isso ao derivar o mesmo em relação a $\omega$ e igualar a zero.

$2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}).(-2\omega)+2\omega\gamma^{2}=0$

 $\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}}$

Assim:

$A_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}}$

b)

Para a amplitude da velocidade ser máxima, reescreveremos a mesma como:

$|\omega A|=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})}{\omega^{2}}+\gamma^{2}}$

Reescrevendo dessa forma, fica fácil notar que temos um pico em $\omega=\omega_{0}$, logo:

$|(\omega A)|_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma}$

a) $A_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}}}$

b) $|(\omega A)|_{max}=\frac{F_{0}}{m\gamma}$