Soluções Física – Semana 76

Escrito por Luís Sá

Iniciante:

[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da quantidade de movimento.[/spoiler][spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da quantidade de movimento:

$$mV_{0}=\big(m+3m\big)V_{f}$$

$$V_{0}=4.5$$

$$V_{0}$$=$$20$$ $$\frac{m}{s}$$[/spoiler]

[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]$$V_{0}$$=$$20$$ $$\frac{m}{s}$$[/spoiler]

Intermediário:

[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da quantidade de movimento e energia(colisão elástica).[/spoiler]

[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da quantidade de movimento no eixo x:

$$mv=mv_{x}+nmv_{x}$$$$v_{x}=\frac{v}{1+n}$$

Conservação da quantidade de movimento no eixo y:

$$mv_{1y}=nmv_{2y}$$$$v_{1y}=nv_{2y}$$

Conservação de energia:

$$\frac{mv^{2}}{2}=\frac{m}{2}\Bigg(v_{x}^{2}+v_{1y}^{2}\Bigg)+\frac{nm}{2}\Bigg(v_{x}^{2}+v_{2y}^{2}\Bigg)$$

$$\frac{mv^{2}}{2}=\frac{m}{2}\Bigg(\Big(\frac{v}{1+n}\Big)^{2}+(nv_{2y})^{2}\Bigg)+\frac{nm}{2}\Bigg(\Big(\frac{v}{1+n}\Big)^{2}+v_{2y}^{2}\Bigg)$$

$$\frac{nmv_{2y}^{2}(1+n)}{2}=\frac{nmv^{2}}{2(1+n)}$$

$$v_{2y}=\frac{v}{1+n}$$

Logo,como $$v_{x}$$ e $$v_{2y}$$ são iguais, o ângulo que a massa $$nm$$ faz com o eixo x é $$45^{\circ}$$.[/spoiler]

[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]$$45^{\circ}$$[/spoiler]

Avançado:

[spoiler title=’Situação física’ style=’default’ collapse_link=’true’]Conservação da quantidade de movimento,em relação ao centro de massa, e conservação de energia.[/spoiler]

[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]Velocidade do centro de massa:

$$V_{cm}=\frac{mv}{m+m_{1}}$$

Em relação ao centro de massa, temos que a quantidade de movimento total é zero, então:

$$m_{1}v_{1}=mv_{2}$$

$$v_{1}=\frac{m}{m_{1}}v_{2}$$

Conservação de energia:

$$\frac{m}{2}\Big(v-V_{cm}\Big)^{2}+\frac{m_{1}}{2}V_{cm}^{2}=\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{mv_{2}^{2}}{2}$$

Substituindo $$v_{1}$$ e $$V_{cm}$$,temos:

$$v_{2}=\frac{m_1}{m+m_{1}}v$$

Para que a bola de massa $$m$$ bata em todas as bolas, ela terá que sair com o ângulo de $$\frac{\pi}{N}$$, pois $$N$$ tende ao infinito.

A diferença vetorial $$v_{f}$$, a velocidade da massa $$m$$ no referencial da Terra após a colisão, e $$V_{cm}$$ resulta no $$v_{2}$$.Como $$m_{1}$$ é igual a $$\frac{M}{N}$$ e que o ângulo entre $$v_{f}$$ e $$V_{cm}$$ é de $$\frac{\pi}{N}$$, já que  $$V_{cm}$$está na mesma direção de $$v$$, velocidade antes da colisão.

Logo, pela lei dos senos e utilizando que $$sen\theta\approx\theta$$,temos:

$$\frac{M}{m}=\frac{\pi}{sen\alpha}$$

Logo $$\frac{M}{m}$$ minímo é:

$$\frac{M}{m}=\pi$$[/spoiler]

[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]$$\frac{M}{m}=\pi$$[/spoiler]