Soluções Física – Semana 83

Quando uma corda passa por volta de uma polia ideal de forma que as duas extremidades que encostam na polia saiam paralelas, temos que a tração que um fio ligado ao centro da polia exerceria seria o dobro da tração desta corda. Com essa relação, podemos prender coisas mais pesadas com uma mais leve. Esse sistema de polias é comum por exemplo em oficinas de carro.

Numa polia ideal, o fio que está preso à ele terá uma tração duas vezes maior do que a tração do fio que passa por baixo (considerando que o fio não apresente uma angulação ao passar pela polia). Isso pode ser observado ao representar as forças atuantes na polia ideal (massa $0$, sem atrito…) e escrever a segunda Lei de Newton para a polia:

$m_p a_p = T' - 2T$

$0 = T' - 2T$

$T'=2T$

Na massa $m$ atuará a tração $T_0$. Escrevendo as trações para os fios que saem das N polias:

$T_1 = 2T_0$

$T_2 = 2T_1$

$T_3 = 2T_2$

. . .

$T_{N-1} = 2T_{N-2}$

$T_N=2T_{N-1}$

Mas na $N$-ésima polia está presa a massa $M$, atuando então em $M$ a tração $T_N$. Para o sistema estar em equilibrio:

$T_o = mg$

$T_N = Mg$

Perceba que ao multiplicar todas as equações das relações entre as trações, por esta relação ser uma PG, os termos entre $N$ e $0$ se cancelam, ficando:

$T_N = 2^N T_0$

$Mg = 2^N mg$

$\dfrac{M}{m} = 2^N$

$\dfrac{M}{m} = 2^N$

Quando uma massa está conectada à uma polia, com massas em suas extremidades, que pode se mover livremente, podemos substituir este sistema por uma massa equivalente, que gera uma mesma tração no fio ligando a massa e uma mesma aceleração.

Num sistema com uma polia livre, que é capaz de se mover, existe um vínculo entre a sua aceleração e a aceleração das massas que estão nas extremidades do fio que passa por ela. Este vínculo é :

$a_p = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

Considere o sistema abaixo. A esquerda está o sistema no inicio, e na direita o mesmo sistema em algum instante.

Definindo como um deslocamento positivo para cima, temos então que:

$d_1 = -x_1$

$d_2 = x_2$

$d_p = x_p$

Com $x_1$ , $x_2$ , $x_p$ o quanto as massinhas $1$ e $2$ e a polia andaram, respectivamente.

Considerando um fio ideal, ou seja, inelástico, o comprimento de fio deve se conservar independente da configuração das massinhas. Se antes tinha na esquerda $l_1$ e na direita $l_2$ de forma que:

$l_1 + l_2 = l$

Na outra configuração, a soma dos comprimentos devem ser igual a $l$ também, logo:

$(l_1 + x_1 + x_p) + (l_2 - x_2 + x_p) = l = l_1 + l_2$

$x_1 + x_p - x_2 + x_p = 0$

$2x_p = x_2 - x_1$

$2d_p = d_1 + d_2$

$d_p = \dfrac{d_1+d_2}{2}$

Com isso também temos:

$v_p = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$

$a_p = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

Com este resultado, e o da questão anterior em que a tração atuante no vértice da polia é o dobro da tração do fio que passa por ela, podemos escrever a segunda lei de Newton para as massas. Supondo que $m_1$ e $m_2$ se movam para baixo, pelo vínculo temos que a polia também se move para baixo, e por isso $M$ se move para cima com a mesma aceleração que a da polia. Daí:

$m_1 a_1 = m_1 g - T$

$m_2 a_2 = m_2g - T$

$M a = 2T - Mg$

Das duas primeira equações temos que:

$m_1 a_1 - m_2 a_2 = m_1g - m_2g$

$a_1 = \dfrac{m_2}{m_1}a_2 + \dfrac{(m_1-m_2)}{m_1}g$

Pelo vínculo:

 $a = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$

$a = \dfrac{1}{2}( \dfrac{m_2}{m_1}a_2 + \dfrac{(m_1-m_2)}{m_1}g + a_2)$

$a = \dfrac{(m_1 + m_2)a_2 + (m_1 - m_2)g}{2m_1}$

Da segunda equação temos que:

$T=m_2(g-a_2)$

Substituindo na terceira:

$M a = 2m_2(g-a_2) - Mg$

$M \dfrac{(m_1 + m_2)a_2 + (m_1 - m_2)g}{2m_1} = 2m_2(g-a_2) - Mg$

$Mm_1a_2 + Mm_2a_2 +Mm_1g - Mm_2g = 4m_1m_2g - 4m_1m_2a_2 - 2Mm_1g$

$[4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)]a_2 = [4m_1m_2 - M(3m_1 - m_2)]g$

$a_2 = \left( \dfrac{4m_1m_2 - M(3m_1 - m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g$

Substituindo para achar $a$:

$a = \dfrac{(m_1 + m_2) \left( \dfrac{4m_1m_2 - M(3m_1 - m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g + (m_1 - m_2)g}{2m_1}$

$a=\dfrac{g}{2m_1} \left( (m_1 + m_2)\dfrac{[4m_1m_2 - M(3m_1 - m_2)]}{[4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)]} + (m_1 - m_2) \right)$

$a=\dfrac{g}{2m_1} \left( \dfrac{4m_1^2m_2 + 4m_1m_2^2 - 3Mm_1^2 + Mm_1m_2 - 3Mm_1m_2 + Mm_2^2 + 4m_1^2m_2 - 4m_1m_2^2 + Mm_1^2 - Mm_2^2}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right)$

$a=\dfrac{g}{m_1} \left( \dfrac{4m_1^2m_2 - Mm_1^2 - Mm_1m_2}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right)$

$a= \left( \dfrac{4m_1m_2 - M(m_1+m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g$

$a = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} - M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$

Resolvendo agora no segundo caso:

$M a = T' - Mg$

$M_{eq} a = M_{eq}g - T'$

$(M+M_{eq}) a = (M_{eq} - M) g$

$a =\left( \dfrac{M_{eq} - M}{M_{eq} + M} \right) g$

Comparando as duas equações:

$\left( \dfrac{M_{eq} - M}{M_{eq} + M} \right) g = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} - M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$

Por observação, temos então que:

$M_{eq} = \dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}$

Primeiro caso:

$a = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} - M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$

Segundo caso:

$a = \left( \dfrac{M_{eq} - M}{M_{eq} + M} \right) g$

Massa equivalente:

$M_{eq} = \dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}$

Se uma polia livre está conectada à um sistema de polias, nós podemos considerar que este sistema exerceria a mesma função que a de uma massa equivalente. Cada subsistema deste conjunto também apresentaria uma massa equivalente própria.

Utilizando a ideia de massa equivalente de um sistema de polias, podemos dizer que o sistema de polias que começa na segunda polia até o infinito possui uma massa equivalente $M$. Também se tem que a partir da terceira polia existirá uma massa equivalente $M'$. Por esse sistema ser equivalente ao sistema formado pela segunda polia até o infinito, mudando apenas que todas as suas massas são exatamente o dobro das massas correspondentes do outro sistema. Dessa forma, podemos inferir que:

$M' = 2M$

Mas temos que a massa equivalente $M$ é formado pela massa $2m$ e a $M'$, daí:

$M =\dfrac{4(2m)M'}{(2m)+M'}$

$M=\dfrac{4*2m*2M}{2m+2M}$

$1=\dfrac{8m}{m+M}$

$M=7m$

Assim, temos um sistema simples de uma polia, com a massa em uma extremidade sendo $m$ e na outra $7m$. Dessa forma:

$m a = T - mg$

$7m a = 7mg - T$

Daí:

$8m a =6mg$

$a=\frac{3}{4}g$

$a=\frac{3}{4}g$