Escrito por Matheus Ponciano
Iniciante:
[spoiler title=’Situação Física’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Quando uma corda passa por volta de uma polia ideal de forma que as duas extremidades que encostam na polia saiam paralelas, temos que a tração que um fio ligado ao centro da polia exerceria seria o dobro da tração desta corda. Com essa relação, podemos prender coisas mais pesadas com uma mais leve. Esse sistema de polias é comum por exemplo em oficinas de carro.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Numa polia ideal, o fio que está preso à ele terá uma tração duas vezes maior do que a tração do fio que passa por baixo (considerando que o fio não apresente uma angulação ao passar pela polia). Isso pode ser observado ao representar as forças atuantes na polia ideal (massa $$0$$, sem atrito…) e escrever a segunda Lei de Newton para a polia:
$$m_p a_p = T’ – 2T$$
$$0 = T’ – 2T$$
$$T’=2T$$
Na massa $$m$$ atuará a tração $$T_0$$. Escrevendo as trações para os fios que saem das N polias:
$$T_1 = 2T_0$$
$$T_2 = 2T_1$$
$$T_3 = 2T_2$$
. . .
$$T_{N-1} = 2T_{N-2}$$
$$T_N=2T_{N-1}$$
Mas na $$N$$-ésima polia está presa a massa $$M$$, atuando então em $$M$$ a tração $$T_N$$. Para o sistema estar em equilibrio:
$$T_o = mg$$
$$T_N = Mg$$
Perceba que ao multiplicar todas as equações das relações entre as trações, por esta relação ser uma PG, os termos entre $$N$$ e $$0$$ se cancelam, ficando:
$$T_N = 2^N T_0$$
$$Mg = 2^N mg$$
$$\dfrac{M}{m} = 2^N$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$\dfrac{M}{m} = 2^N$$
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Intermediário:
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Quando uma massa está conectada à uma polia, com massas em suas extremidades, que pode se mover livremente, podemos substituir este sistema por uma massa equivalente, que gera uma mesma tração no fio ligando a massa e uma mesma aceleração.
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[spoiler title=’Solução’ style=’default’ collapse_link=’true’]
Num sistema com uma polia livre, que é capaz de se mover, existe um vínculo entre a sua aceleração e a aceleração das massas que estão nas extremidades do fio que passa por ela. Este vínculo é :
$$a_p = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$$
Considere o sistema abaixo. A esquerda está o sistema no inicio, e na direita o mesmo sistema em algum instante.
Definindo como um deslocamento positivo para cima, temos então que:
$$d_1 = -x_1$$
$$d_2 = x_2$$
$$d_p = x_p$$
Com $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$x_p$$ o quanto as massinhas $$1$$ e $$2$$ e a polia andaram, respectivamente.
Considerando um fio ideal, ou seja, inelástico, o comprimento de fio deve se conservar independente da configuração das massinhas. Se antes tinha na esquerda $$l_1$$ e na direita $$l_2$$ de forma que:
$$l_1 + l_2 = l$$
Na outra configuração, a soma dos comprimentos devem ser igual a $$l$$ também, logo:
$$(l_1 + x_1 + x_p) + (l_2 – x_2 + x_p) = l = l_1 + l_2$$
$$x_1 + x_p – x_2 + x_p = 0$$
$$2x_p = x_2 – x_1$$
$$2d_p = d_1 + d_2$$
$$d_p = \dfrac{d_1+d_2}{2}$$
Com isso também temos:
$$v_p = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$$
$$a_p = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$$
Com este resultado, e o da questão anterior em que a tração atuante no vértice da polia é o dobro da tração do fio que passa por ela, podemos escrever a segunda lei de Newton para as massas. Supondo que $$m_1$$ e $$m_2$$ se movam para baixo, pelo vínculo temos que a polia também se move para baixo, e por isso $$M$$ se move para cima com a mesma aceleração que a da polia. Daí:
$$m_1 a_1 = m_1 g – T$$
$$m_2 a_2 = m_2g – T$$
$$M a = 2T – Mg$$
Das duas primeira equações temos que:
$$m_1 a_1 – m_2 a_2 = m_1g – m_2g$$
$$a_1 = \dfrac{m_2}{m_1}a_2 + \dfrac{(m_1-m_2)}{m_1}g$$
Pelo vínculo:
$$a = \dfrac{a_1 + a_2}{2}$$
$$a = \dfrac{1}{2}( \dfrac{m_2}{m_1}a_2 + \dfrac{(m_1-m_2)}{m_1}g + a_2)$$
$$a = \dfrac{(m_1 + m_2)a_2 + (m_1 – m_2)g}{2m_1}$$
Da segunda equação temos que:
$$T=m_2(g-a_2)$$
Substituindo na terceira:
$$M a = 2m_2(g-a_2) – Mg$$
$$M \dfrac{(m_1 + m_2)a_2 + (m_1 – m_2)g}{2m_1} = 2m_2(g-a_2) – Mg$$
$$Mm_1a_2 + Mm_2a_2 +Mm_1g – Mm_2g = 4m_1m_2g – 4m_1m_2a_2 – 2Mm_1g$$
$$[4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)]a_2 = [4m_1m_2 – M(3m_1 – m_2)]g$$
$$a_2 = \left( \dfrac{4m_1m_2 – M(3m_1 – m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g$$
Substituindo para achar $$a$$:
$$a = \dfrac{(m_1 + m_2) \left( \dfrac{4m_1m_2 – M(3m_1 – m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g + (m_1 – m_2)g}{2m_1}$$
$$a=\dfrac{g}{2m_1} \left( (m_1 + m_2)\dfrac{[4m_1m_2 – M(3m_1 – m_2)]}{[4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)]} + (m_1 – m_2) \right)$$
$$a=\dfrac{g}{2m_1} \left( \dfrac{4m_1^2m_2 + 4m_1m_2^2 – 3Mm_1^2 + Mm_1m_2 – 3Mm_1m_2 + Mm_2^2 + 4m_1^2m_2 – 4m_1m_2^2 + Mm_1^2 – Mm_2^2}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right)$$
$$a=\dfrac{g}{m_1} \left( \dfrac{4m_1^2m_2 – Mm_1^2 – Mm_1m_2}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right)$$
$$a= \left( \dfrac{4m_1m_2 – M(m_1+m_2)}{4m_1m_2 + M(m_1 + m_2)} \right) g$$
$$a = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} – M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$$
Resolvendo agora no segundo caso:
$$M a = T’ – Mg$$
$$M_{eq} a = M_{eq}g – T’$$
$$(M+M_{eq}) a = (M_{eq} – M) g$$
$$a =\left( \dfrac{M_{eq} – M}{M_{eq} + M} \right) g$$
Comparando as duas equações:
$$ \left( \dfrac{M_{eq} – M}{M_{eq} + M} \right) g = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} – M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$$
Por observação, temos então que:
$$M_{eq} = \dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}$$
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Primeiro caso:
$$a = \left( \dfrac{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} – M}{\frac{4m_1m_2}{m_1+m_2} + M} \right) g$$
Segundo caso:
$$a = \left( \dfrac{M_{eq} – M}{M_{eq} + M} \right) g$$
Massa equivalente:
$$M_{eq} = \dfrac{4m_1m_2}{m_1+m_2}$$
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Avançado:
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Se uma polia livre está conectada à um sistema de polias, nós podemos considerar que este sistema exerceria a mesma função que a de uma massa equivalente. Cada subsistema deste conjunto também apresentaria uma massa equivalente própria.
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Utilizando a ideia de massa equivalente de um sistema de polias, podemos dizer que o sistema de polias que começa na segunda polia até o infinito possui uma massa equivalente $$M$$. Também se tem que a partir da terceira polia existirá uma massa equivalente $$M’$$. Por esse sistema ser equivalente ao sistema formado pela segunda polia até o infinito, mudando apenas que todas as suas massas são exatamente o dobro das massas correspondentes do outro sistema. Dessa forma, podemos inferir que:
$$M’ = 2M$$
Mas temos que a massa equivalente $$M$$ é formado pela massa $$2m$$ e a $$M’$$, daí:
$$M =\dfrac{4(2m)M’}{(2m)+M’}$$
$$M=\dfrac{4*2m*2M}{2m+2M}$$
$$1=\dfrac{8m}{m+M}$$
$$M=7m$$
Assim, temos um sistema simples de uma polia, com a massa em uma extremidade sendo $$m$$ e na outra $$7m$$. Dessa forma:
$$m a = T – mg$$
$$7m a = 7mg – T$$
Daí:
$$8m a =6mg$$
$$a=\frac{3}{4}g$$
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[spoiler title=’Gabarito’ style=’default’ collapse_link=’true’]
$$a=\frac{3}{4}g$$
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